3.1.2第2课时 直线与椭圆的位置关系练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时　直线与椭圆的位置关系 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是 (　 ) A. B.- C.± D.± 3. 椭圆+=1与直线x+2y-4=0相交所得的弦被点M平分,则点M的坐标为 (　 ) A.(2,4) B.(2,2) C.(3,1) D.(2,1) 4.罗马竞技场是古罗马文明的象征,如图L3-1-6,其内部形状近似为一个椭圆,其长轴长约为188米,短轴长约为156米,竞技场分为表演区与观众区,中间的表演区也近似为椭圆,其长轴长为86米,短轴长为54米.若椭圆的面积为πab(其中a,b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长,π取3.14),已知观众区有90 000个座位,由此推断,观众区每个座位所占面积约为 (　 ) 图L3-1-6 A.0.41平方米 B.0.32平方米 C.0.22平方米 D.0.12平方米 5.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点的个数为 (　 ) A.0或1 B.2 C.1 D.0 6.已知椭圆C:+=1和点P(2,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,若四边形OAPB(O为坐标原点)为平行四边形,则直线l的方程为 (　 ) A.2x-y-=0 B.2x+y-=0 C.x-2y-2=0 D.x+2y-2=0 7.[若点P,Q分别在椭圆x2+=1和直线x+y-2=0上运动,则|PQ|的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 8.(多选题) 已知O为坐标原点,椭圆C的中心为原点,焦点在坐标轴上,点,均在椭圆C上,则 (　 ) A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的短轴长为2 C.直线 l:kx+y-k=0与椭圆C相交 D.若点A,B在椭圆C上,线段AB的中点坐标为,则直线AB的方程为y=-x+1 9.(多选题)如图L3-1-7所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1和e2,则下列结论正确的是 (　 ) 图L3-1-7 A.a1+c1>2(a2+c2) B.a1-c1=a2-c2 C.e1= D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.如图L3-1-8,某公园的一个窗户的形状为长轴长为4米,短轴长为2米的椭圆,其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段,则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为　　　　米.  图L3-1-8 11.过点M(2,1)的直线l与椭圆+=1相交于A,B两点,且M恰为线段AB的中点,则直线l的方程为　　　　　.  12. 如果实数x,y满足等式3x2+4y2=12,那么的最大值是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点(0,). (1)求椭圆E的标准方程; (2)设直线x=1与椭圆E在x轴上方的交点为M,O为坐标原点,若平行于OM的直线l与椭圆恰有一个公共点,求此公共点的坐标. 14.(10分)[ 已知椭圆+=1,直线l的斜率是1. (1)若直线l与椭圆有公共点,求直线l的纵截距的取值范围; (2)当直线l与椭圆相交时,求所得弦的中点所在直线的方程. 15.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l与C在第一象限交于A,B两点,直线l与x轴和y轴分别交于点M,N,且|MA|=|NB|,点E为AB的中点,直线OE(O为坐标原点)倾斜角的正切值为,|OE|=3,则直线l的方程为　　　　,椭圆C的离心率为　　　　.  16.(15分)某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖.如图L3-1-9所示,AB=4,O为AB的中点,半椭圆所在椭圆的一个焦点P在对称轴OD上,点M,N在半椭圆上,MN平行于AB交OD于G,且G在P的右侧,△MNP为灯光区,用于美化环境. (1)若半椭圆所在椭圆的离心率为,且PG=1,求△MNP的面积; (2)若学校的另一条道路EF满足OE=3,tan∠OEF=2,为确保道路安全,要求半椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于,求半椭圆形状的小湖的最大面积. 图L3-1-9 第2课时　直线与椭圆的位置关系 1.A　[解析] 直线y=kx-k+1=k(x-1)