4.2等差数列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2等差数列 等差数列的概念 （1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的____等于同一个____，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，公差通常用字母表示，即______，且或. （2）等差中项：由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝_______ 等差数列的通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：________. 该式又可以写成__________，这表明d≠0时，是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数. （2）前n项和公式：__________＝___________. 该式又可以写成___________，这表明d≠0时，是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. 等差数列的性质 （1）与项有关的性质 ①等差数列中，若公差为d，则，当n≠m时，d＝_______. ②在等差数列中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则_________. 特别地，若m＋n＝2p，则__________. ③若数列是公差为d的等差数列，则数列（λ，b为常数）是公差为______的等差数列. ④若数列，是公差分别为的等差数列，则数列（为常数）也是等差数列，且公差为_________ ⑤数列是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md. （2）与和有关的性质 ①等差数列中依次k项之和，…组成公差为k2d的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n∈N*），则， （S奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则是数列的中间项），，＝（）. ③为等差数列⇒ 为等差数列. ④两个等差数列，的前n项和之间的关系为 （）. 1-1、在等差数列中，已知，则______． 1-2、已知数列满足，则等于____． 1-3、已知各项均不为零的数列满足，且. (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； 1-4、已知数列的前n项和为 (1)证明：数列{}为等差数列； (2)，求λ的最大值． 2-1、已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，求的最大值. 2-2、已知为等差数列的前项和，，，则（    ） A．5 B．0 C． D． 2-3、已知为等差数列的前n项和，，则的值为（    ） A．12 B．14 C．24 D．28 2-4、已知等差数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2-5、已知是等差数列的前项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3-1、已知一个等差数列的前4项和为32，前8项和为56． (1)求、的值； (2)通过计算观察，寻找、、、之间的关系，你发现什么结论？ (3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明． 3-2、已知等差数列的前项和为，若，，则______. 3-3、等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 4-1、（多选）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 4-2、等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 4-3、（多选）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列是公差为的等差数列 D．数列是公差为的等差数列 5-1、设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 5-2、（多选）已知等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A．若，公差，则 B．若，则 C．若前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为∶，且，则公差为 D．若，，则的最小值是 5-3、已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ） A． B． C． D． 6-1、两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ） A． B． C． D． 6-2、已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（    ） A． B． C． D． 6-3、等差数列，前n项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 练习 1、数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则____. 2、（多选）设等差数列的前项和为，其公差，且，则（    ） A． B． C． D． 3、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则的面积最大