4.3.3 余角和补角 课件 2023-2024学年初中数学人教版七年级上册

第四章 几何图形初步 4.3.3 余角和补角 1. 了解余角、补角的概念. 2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题. 3.了解方位角的概念. 4.能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 学习目标 重点 难点 重点 重点 问题1：图中的∠A 和∠B 有怎样的数量关系？ A C B A C B 90° 45° 45° 30° 60° 90° ∠A +∠B = 90° 新课引入 以上问题学生回答言之有理即可 1 2 问题2：图中的∠1 和∠2 有怎样的数量关系？ 54° 36° 测量 ∠1 +∠2 = 90° 下面每个图中的两个角也满足度数之和为 90°. 如果两个角的和等于 90°(直角)，就说这两个角互为余角，其中每一个角是另一个角的余角. 新知学习 一 余角 1 2 符号语言： 因为∠1 +∠2 = 90°， 所以∠1 与∠2 互为余角. 注意：(1) 余角是指两个角的关系； (2) 余角只考虑两个角的数量关系，与位置无关. 探究 如图，已知∠1 = 35°， (1) ∠1的余角是多少度？ (2) 能试着画出∠1 的余角吗？ 1 (1) 解：∠1 的度数为 90° - 35° = 55°. 1 2 1 3 思考 ∠1 与∠2 、∠3 都互为余角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？ ∠1 与∠2 、∠3 都互为余角，那么∠2 = 90° -∠1，∠3 = 90° -∠1. 所以∠2 =∠3. 归纳 余角的性质： 同角(等角)的余角相等. 例1 已知∠α = 53°27'，∠α 与∠β 互为余角， 求∠β 的度数. 解：因为∠α 与∠β 互为余角 (已知)， 所以∠α +∠β = 90° (余角定义)， 所以∠β = 90° -∠α= 90° -53°27' = 36°33'. 思考 图中的∠1 和∠2 有怎样的数量关系？ 1 2 测量 144° 36° ∠1 +∠2 = 180° 二 补角 下面每个图中的两个角也满足度数之和为 180°. 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角. 1 2 符号语言： 因为∠1 +∠2 = 180°， 所以∠1 与∠2 互为补角. 注意：(1) 补角是指两个角的关系； (2) 补角只考虑两个角的数量关系，与位置无关. 思考 ∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？ ∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 = 180° -∠1，∠3 = 180° -∠1. 所以∠2 =∠3. 归纳 补角的性质： 同角(等角)的补角相等. 例2 ∠α 的补角是它的 3 倍，∠α 是多少度？ 分析：根据补角的定义，∠α的补角表示为 (180° -∠α)， 题目中的数量关系：补角 = 这个角的 3 倍. 解：依题意得 180° -∠α = 3∠α， 解得 ∠α = 45° 答：∠α 是 45°. 例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ O A B C D E 解:因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和∠BOC 互为补角. 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC=(∠AOC+∠BOC ) = 90°. O A B C D E 所以∠COD和∠COE互为余角. 同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角. 在小学的时候，同学们学习过表示方向的角，我们用两条相互垂直的直线来代表南北和东西，即上北下南，左西右东. 西北 东北 西南 东南 在四个直角的角平分线上，分别代表东北、西北、西南、东南四个方向. 30° 25° 你能描述出图中红线所代表的方向吗？ 北偏东30° 南偏东25° 三 方位角 例4 如图，货轮 О 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东 60° 的方向上. 同时，在它北偏东 40°、南偏西 10°、西北 (即北偏西 45°) 方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮 B、货轮 C 和海岛 D 方向的射线. 画法：以点 O 为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画 40° 的角，使它的另一边 OB 落在东与北之间，射线 OB 的方向就是北偏东 40°，即客轮 B 所在的方向. 同理画出货轮 C 和海岛 D 方向的射线. 40° B 45° D 10° C 随堂练习 1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 120o 150o 170o 100o 互为余角： 10°和80°；