3.2　圆的对称性　复习讲义　　2022—2023学年北师大版数学九年级下册

圆复习2——圆心角、弦和弧 【知识梳理】 1、圆的旋转不变性：将圆周绕圆心O旋转 ，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。 2.圆心角定理及其推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距,这四组量中有一组量相等,那么其余三组量都分别______. 3.如图(6):在⊙O中,OE⊥AB,OF⊥CD.根据圆心角定理及其推论填空: (1)若∠AOB=∠COD,则AB=____,=_____,OE=____. (2)若=,则AB=_____,∠AOB=______,OE=______. (3)若=CD,则______________,_________________,___________________. (4)若OE=OF,则_______________,________________,___________________. 4.在同圆或等圆中: (1)要证明两条弦相等,应先证明它们的弦心距___、或它们所对的弧___、或它们所对的圆心角____. (2)要证明两条弦心距相等,应先证明两条弦______、或弦所对的弧_______、或弦所对的圆心角___. 5.圆周是3600的弧.圆心角的度数等于它所对的弧的度数. n°的圆心角所对的弧就是 . 6.如图(7):已知是圆周的,则AB是______度,∠AOB=______度; 若OD⊥AB,OD=3,则∠AOD=_____度,AD=_____,AB=______. 7.如图(8):AB、CD是⊙O的直径,CE∥AB, =560,则∠COE=______度, ∠C=______度,∠COB=______度,∠BOD=_______度. 【典型例题】 【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否 例1、下列说法：① 等弦所对的弧相等；② 等弧所对的弦相等；③ 圆心角相等，所对的弦相等；④ 弦相等，所对的圆心角相等；⑤ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等 例1、如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PO平分∠APD。求证：AB=CD 例2：如图，已知AB、CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，且=．求证：BD=DE． 练1．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD． 【总结点拨】： 同一圆中，证明两弦相等的4种方法： 1．若两弦位于两个不同的三角形，证明两弦所在的三角形全等； 2．若两弦位于同一个三角形中，根据等角对等边证明两弦相等； 3．在同一圆中证明两弦所对的弧相等（同一个类弧）； 4．证明两弧所对的圆心角相等． 例3、如图所示，AB、CD是⊙O的直径，CE∥AB交⊙O于点E，那么与相等吗？说明理由。 例4. 如图，C，D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有(　 　) ①＝＝；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 练2．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：= 【总结点拨】： 1．在同圆或等圆中，证明两条弧相等，可证明两弧所对的圆心角相等； 2．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，注意是度数相等，而不是角与弧相等； 3．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧． 例5、如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB，DE⊥AB，下列结论：①CF=DE；②弧AF=弧FE=弧EB；③AE=2CF；④四边形CDEF为正方形，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【题型三】计算弧的度数 例1、如图所示，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO，若的度数为40°，求的度数 （练3）.如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于点P，且OP＝PC，则与之间的关系为 例2.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是(C) A. 120°　　　　 B. 135° C. 150°　　　　 D. 165° 【总结点拨】．求一个角的度数可先根据弧、弦、圆心角的关系得出所求角与已知角之前的等量关系，然后结合对顶角、等腰三角形或三角形内角和等性质求解． 【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题 例1、已知张庄、李庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M、N的位置，现在要在河边（直径