精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题

东北育才科学高中部高二年级期中考试数学学科试题 命题人：高二数学组 校对人：高二数学组 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，，，若四点共面，则实数 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 4. 如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 5. 如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C D. 6. 如图，四面体A-BCD，△ABD与△BCD均为等边三角形，点E、F分别在边AD、BD，且满足，，记二面角平面角为，，则异面直线BE与CF所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意x，，（，），则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（ ） A. 不是空间一组基底 B. 不是空间的一组基底 C. 向量的模是2 D. 向量和的夹角为 10. 已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ） A. 四边形MACB面积的最小值为 B. 最大度数为60° C. 直线AB过定点 D. 的最小值为 11. 如图，已知正方体的棱长为2，P为空间中一点，，则（ ） A. 当，时，异面直线BP与所成角的余弦值为 B. 当，时，三棱锥的体积为 C 当，，时，有且仅有一个点P，使得平面 D. 当，时，异面直线BP和所成角取值范围是 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 C. 为定值 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______． 14. 关于的方程有实数解，则实数的取值范围是___________. 15. 已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为________. 16. 如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是________. ①当且时,为等腰梯形; ②当,分别为,的中点时，几何体的体积为; ③当为中点且时，与的交点为,满足; ④当且时, 的面积. 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）已知空间三点，，，设，，若与互相垂直，求k. （2）已知三角形的顶点是，，.求三角形的面积， 18. 在中，， （1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程； （2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程. 19. 如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 20. 将棱长为1的正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，点在棱上． （1）当为棱的中点时，求到平面的距离； （2）当在棱上移动时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 21. 已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为A、B. （1）求四边形面积的最小值及此时点P的坐标； （2）直线AB是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由. 22. 已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为． （1）求椭圆E的方程； （2）如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北育才科学高中部高二年级期中考试数学学科试题 命题人：高二数学组