专题02 等式与不等式-2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

【学生版】 专题02 等式与不等式 第2章 等式与不等式【课本目录】 2.1 等式与不等式的性质：2.1.1 等式的性质与方程的解集；2.1.2 一元二次方程的解集与根与系数的关 系；2.1.3 不等式的性质 2.2 不等式的求解：2.2.1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解；2.2.2 一元二次不等式的求解； 2.2.3 分式不等式的求解；2.2.4 含绝对值不等式的求解 2.3 基本不等式及其应用；2.3.1 平均值不等式及其应用（1）；2.3.1 平均值不等式及其应用（2）； 2.3.2 三角不等式； 本章内容提要 1. 实数大小的比较：；；； 2. 等式的基本性质 传递性 如果，且，那么； 加法性质 如果，，那么； 乘法性质 如果，，那么； 3. 不等式的基本性质 传递性 如果，且，那么； 加法性质 如果，，那么； 乘法性质 如果，，那么；如果，，那么； 4. 一元二次方程的根与系数关系： 设（）的两根为、，则，； 5. 一元二次不等式的求解（下表中均假设，而） 有两不同实根 有两相同实根 无实根 解集为 解集为 解集为全体实数集 解集为 解集为全体实数集 解集为全体实数集 解集为 解集为空集 解集为空集 解集为 解集为 解集为空集 6. 基本不等式 平均值不等式 （，）当且仅当时等号成立； 常用不等式 ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立. 三角不等式 ，当且仅当时等号成立； 题型1、比较两数（式）的大小 例1、（1）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ） A．M＜N　　 B．M＞N C．M＝N D．不确定 （2）若a＞0，b＞0，则p＝与q＝的大小关系是 【说明】比较大小常用的方法： 1、作差(商)法：作差(商)⇒变形⇒判断； 2、构造函数法：利用函数的单调性比较大小； 3、中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作为中间量； 题型2、涉及对不等式性质的理解 例2、（1）若a＞b，则下列结论正确的为（ ） A．ln(a－b)＞0　　 B．3a＜3b C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b| （2）对于实数a，b，c，下列命题中正确的序号是 ①若a＞b，则ac＜bc； ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2； ③若c＞a＞b＞0，则＞； ④若a＞b，＞，则a＞0，b＜0； 【说明】涉及需理解不等式性质解答的题，解决此类题目常用的三种方法； 1、直接利用不等式的性质逐个验证． 2、利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 3、利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断； 题型3、不等式性质的应用 例3、（1）小明同学的妈妈是某省援鄂医疗队的队员，为了迎接胜利归来的英雄母亲，小明准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ） A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定 （2）已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是________________． 【说明】利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围； 题型4、对平均值不等式的理解与应用 例4、（1）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则（ ） A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 【说明】对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： 1、不等式成立的条件是a，b都是正数； 2、“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b； （2）如果0<a<b<1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是 【说明】运用基本不等式比较大小的注意点： 1、要灵活运用基本不等式，特别注意其变形； 2、应