第二十四章 圆-【新课程能力培养】2023-2024学年九年级上册初中数学同步练习（人教版）

圆 第二十四章 知识网络 知识网络 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 圆的定义 圆 圆的性质 轴对称性 中心对称性 弧、 弦的 关系 垂径定理 圆的概念 与 基本性质 与圆有关的位置关系 直线与圆 相离 点与圆 （上、 外、 内） 相切 相交 判定 性质 角与圆 圆心角 圆周角 圆周角定理及推论 多边形与圆 三角形与圆 （外接、 内切） 四边形与圆 正多边形与圆 性质 相关概念 反证法 与圆有关的计算 圆锥侧面积、 全面积 扇形面积 弧长 半径、 弦、 弓形高 自主导学 典例精析 例题 ⊙O 所在平面上的一点 P 到 ⊙O 上的点的最大距离是 10 ， 最小距离是 2 ， 求此 圆的半径是多少 . 【解】 分两种情况： 63 九年级上册 （人教版）数学 ① 如图 1 ， 当点 P 为 ⊙O 内一点， 过点 P 作 ⊙O 的直径， 分别交 ⊙O 于 A ， B ， 由题意可得 P 到 ⊙O 的最大距离为 10 ， 最小距离为 2 ， 则 AP=2 ， BP=10 ， ∴⊙O 的半径为 2+10 2 =6. ② 如图 2 ， 当点 P 在 ⊙O 外时， 作直线 OP ， 分别交 ⊙O 于 A ， B ， 由题可得 P 到 ⊙O 的 最大距离为 10 ， 最小距离为 2 ， 则 BP=10 ， AP=2 ， ∴⊙O 的半径为 10-2 2 =4. 综上所述， 所求圆的半径为 6 或 4. 【点拨】 题目中说到最大距离和最小距离， 我们首先想到的就是直径， 然后过点 P 作圆 的直径， 得到圆的半径 . 通常情况下， 我们进行的都是在圆内的有关计算， 这逐渐成为一种 习惯， 使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况， 而忽略了圆外的情况， 所以经常会出 现漏解的情况 . 这也是本题想要提醒大家的地方 . 基础巩固 达标闯关 1. 以已知点 O 为圆心作圆， 可以作 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 无数个 2. P 为 ⊙O 内与 O 不重合的一点， 则下列说法正确的是 （ ） A. 点 P 到 ⊙O 上任一点的距离都小于 ⊙O 的半径 B. ⊙O 上有两点到点 P 的距离等于 ⊙O 的半径 C. ⊙O 上有两点到点 P 的距离最小 D. ⊙O 上有两点到点 P 的距离最大 3. 确定一个圆的条件是 和 . 4. 圆是平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形 . 能力提升 综合拓展 5. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 点在 ⊙O 上， 那么， 哪一段弧是优弧？ 哪一段弧是劣弧？ 第 5 题图 A O B C 图 2 A OP B 图 1 A B P O 例题答图 64 圆 第二十四章 6. 如图， 已知 OA ， OB ， OC 是 ⊙O 的三条半径， ∠AOC=∠BOC ， M ， N 分别为 OA ， OB 的中点 . 求证： MC=NC. 7. 菱形的四边中点是否在同一个圆上？ 如果在同一个圆上， 请找出它的圆心和半径， 同 时证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上 . 中考链接 真题演练 8. （ 2022 ·西藏） 如图， AB 是 ⊙O 的弦， OC⊥AB ， 垂足为 C ， OD∥AB ， OC＝ 1 2 OD ， 则 ∠ABD 的度数为 （ ） A． 90° B． 95° C． 100° D． 105° 9. （ 2022 ·吉林） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为 （ -2 ， 0 ）， 点 B 在 y 轴正半轴上， 以点 B 为圆心， BA 长为半径作弧， 交 x 轴正半轴于 点 C ， 则点 C 的坐标为 . 自主导学 典例精析 例题 已知等腰 △ABC 的三个顶点都在半径为 5 的 ⊙O 上， 如果底边 BC 的长为 8 ， 求 BC 边上的高 . 【解】 连接 AO 并延长交 BC 于点 D ， 连接 OB. 易得 AD⊥ BC ， BD=4 ， OD 2 =5 2 -4 2 =9 ， ∴OD=3. 如图 1 ， 当圆心 O 在 △ABC 内部时， BC 边上的高 AD 为 5+3=8. 如图 2 ， 当圆心 O 在 △ABC 外部时， BC 边上的高 AD 为 第 6 题图 M N O A B C O A B C D x y O A B C 第 8 题图 第 9 题图 24.1.2 垂直于弦的直径 例题答图 A B C O D A B C O D 图 1 图 2 65 九年级上册 （人教版）数学 5-3=2. 综上所述， BC 边上的高为 8 或 2. 【点拨】 等腰 △ABC 的三个顶点都在圆上， 底边 BC 的位置有两种可能， 即点 A 在弦 BC 所对的优弧或劣弧上 . 注意不能只考虑圆心在 △ABC 内部的情况