第一章 勾股定理-【新课程能力培养】2023-2024学年八年级上册初中数学同步练习（北师大版）

勾 股 定 理 第一章 自主导学 典例精析 例题 如图， 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 点 A ， B 都在格点上， 求线段 AB 的长度 . 【分析】 以 AB 为斜边构造格点三角形， 利用勾股定理 求解 AB 的长度即可 ． 【解答】 如图， 在网格中取格点 C ， 连接 AC ， BC ， 则 △ABC 为直角三角形 . 因为 AB 2 =AC 2 +BC 2 ， 所以 AB=5． 【点拨】 本题主要考查勾股定理， 解题的关键是在网格中构造以 AB 为斜边的直角三角形 ． 基础巩固 达标闯关 1. 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°. （ 1 ） 若 a=5 ， b=12 ， 则 c= ； （ 2 ） 若 a=8 ， c=10 ， 则 b= ； （ 3 ） 若 c=61 ， b=60 ， 则 a= ； （ 4 ） 若 a ∶ b=3 ∶ 4 ， c=10 ， 则 S △ABC = . 2. 如图， 直角三角形的两直角边长分别是 6 cm 和 8 cm ， 则阴影部分 的正方形面积是 . 3. 等腰 △ABC 中， AB=AC=17 cm ， BC=16 cm ， 则 BC 边上的高 AD= . 1 探索勾股定理 （第 1课时） 知识网络 第一章 勾 股 定 理 勾股定理 勾股定理的逆定理 勾股定理及其逆定理的应用 直 角 三 角 形 拼图法 判定直角三角形 勾股数组 验证 直接应用勾股定理 勾股定理逆定理的应用 第 2 题图 A B C A B 例题图 例题答图 1 八年级上册 （北师大版）数学 4. 如图， ∠OAB=∠OBC=∠OCD=90° ， AB=BC=CD=1 ， OA=2 ， 则 OD 2 = . 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 ， 则第三边边长的平方是 （ ） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25 6. 如图， 在水塔 O 的东北方向 32 m 处有一抽水站 A ， 在水塔的东南方向 24 m 处有一 建筑工地 B ， 在 A ， B 间建一条直水管， 那么水管 AB 的长度是多少？ 能力提升 综合拓展 7. 在一棵树的 10 m 高 B 处有两只猴子， 一只猴子爬下树走到离树 20 m 处的池塘 A 处， 另一只猴子爬到树顶 D 后直接跃到 A 处， 距离以线段的长计算， 如果两只猴子所经过的距 离相等， 那么这棵树的高度是多少米？ 中考链接 真题演练 8. （ 2021 ·岳阳） 《九章算术》 是我国古代数学名著， 书中有下列问题： “今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈 . 问户高、 广各几何 . ” 其意思为： 今有一门， 高比宽多 6 尺 8 寸， 门对角线距离恰好为 1 丈 . 问门高、 宽各是多 少 . （ 1 丈 ＝10 尺， 1 尺 ＝10 寸） 如图， 设门高 AB 为 x 尺， 根据题意， 可列 方程为 . 9. （ 2020 ·雅安） 对角线互相垂直的四边形称为 “垂美” 四边形， 现有 如图所示的 “垂美” 四边形 ABCD ， 对角线 AC ， BD 交于点 O. 若 AD=2 ， BC=4 ， 则 AB 2 +CD 2 = . 第 6 题图 东西 南 北 A B O 第 4 题图 A B C D O x A B C D 第 7 题图 A C D B O A B C D 第 9 题图 第 8 题图 2 勾 股 定 理 第一章 10. （ 2021 ·山西） 在勾股定理的学习过程中， 我们已 经学会了运用如图图形， 验证著名的勾股定理， 这种根据 图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 简称为 “无 字证明” . 实际上它也可用于验证数与代数、 图形与几何 等领域中的许多数学公式和规律， 它体现的数学思想是 （ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 11. （ 2022 ·金华） 如图 1 ， 将长为 2a+3 ， 宽为 2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形， 拼成 “赵爽弦图” （如图 2 ）， 得到大小两个正方形 . （ 1 ） 用关于 a 的代数式表示图 2 中小正方形的边长； （ 2 ） 当 a=3 时， 该小正方形的面积是多少？ 自主导学 典例精析 例题 如图， 在长方形 ABCD 中， AB=3 ， BC=5 ， 在 CD 上任取一 点 E ， 连接 BE ， 将 △BCE 沿 BE 折叠， 使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处， 求 CE 的长 ． 【分析】 根据题意可知， 在长方形中， AD=BC=5 ， CD=AB=3 ， ∠A= ∠D=90°. 根据折叠得出 BF=BC=5 ， EF=CE. 在 Rt△ABF 中， 利用勾股定理求出 AF 的长， 进