5.2.1 函数的奇偶性（课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

第5章 函数的概念、性质及应用 沪教版（2020）必修第一册 5.2.1 函数的奇偶性 学习任务 1 2 3 了解函数奇偶性的定义，掌握判定函数奇偶性的方法 了解函数奇偶性与函数图像之间的对称关系 会利用函数奇偶性解决问题 1 新课导入 大自然中有许许多多的对称之美。我们数学中也有对称之美，今天就一起来研究函数中的对称对称美。 关于y轴对称 关于原点对称 2 知识梳理 偶函数 偶函数的定义域关于 对称. y轴 奇函数 奇函数的定义域关于 对称. 原点 奇偶函数运算性质 设函数f(x),g(x)具有公共定义域,则函数f(x)+g(x),f(x)-g(x), f(x)g(x)的奇偶性如表所示: f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 3 题型总结 题型一 奇偶性的判断 例1　 题型一 奇偶性的判断 例1　 题型一 奇偶性的判断 例1　 题型二 奇偶性的图像 例2　 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象; 解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示. (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 解:(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 题型三 利用奇偶性求参数 例3 题型四 利用奇偶性求函数解析式 例4　 题型五 比大小 例5 B 题型六 解不等式 例6 4 课堂练习 B C 6.已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是(　 　) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)2 A 解析:由f(x)=x3+2x知f(a)=a3+2a,f(-a)=-a3-2a,故f(a)+f(-a)=0. 7.若函数f(x)=x3+(b-1)x2+x是定义在[2a,1-a]上的奇函数,则a+b=　　 　　.  5 课堂小结 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用奇偶性，求函数的解析式、解不等式. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区： （1）忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性. （2）解不等式易忽视函数的定义域. Thank you for your attention 回家作业：完成5.2.1 函数的奇偶性分层练习 f(0)＝0. (3)是否存在一个函数既是奇函数也是偶函数？ 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合. (1)奇、偶函数的定义域有什么特点？ 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称. (2)若函数y＝f(x)，x∈D为奇函数，且0∈D，则f(0)为何值？ 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝＋ ； 【解】　(1)因为x∈R， 所以－x∈R，又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数. (2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. 判断下列函数的奇偶性. (3)f(x)＝；(4)f(x)＝ (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]. 即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0， 又因为f(－x)＝＝－＝－f(x). 所以f(x)为奇函数. 判断下列函数的奇偶性. (3)f(x)＝；(4)f(x)＝ (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 [注意]　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.　 若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝　　　　，b＝　　　　. 因为偶函数的定