专题11 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(湘教版）

专题11 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 1 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 15 【典型例题】 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 例题：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【变式训练】 1．（2023·广东湛江·校考一模）已知：如图，是的直径，于点，点是上的一点，连结并延长与的延长线交于点，连结、，且．    (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的半径的长． 2．（2023上·天津河北·九年级统考期中）如图所示，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点E，作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的边长为2，求的长度． 3．（2023上·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）如图，是的直径，，是弦，过点O作交于点D，过点A作的切线与的延长线交于点P，连接． (1)求证：是的切线： (2)如果，求的长． 4．（2023·广东揭阳·校考一模）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点D，过点D作交的延长线于点E，垂足为点F．    (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径，，求的长． 5．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 6．（2023下·广西南宁·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，点是上异于、的一点，点是角平分线上一点，连接、，其中交于点，交于点，且点是的中点．    (1)求证：直线是的切线； (2)若点E是的中点，求的值； (3)若，，求的长． 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 例题：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，为的直径，是的切线，，D为的中点，E在上，，连接，．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【变式训练】 1．（2023上·福建南平·九年级统考期中）如图，以矩形的边为直径作半圆，圆心为点O，点E在边上，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长. 2．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的度数． 3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 1 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 15 【典型例题】 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 例题：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)详见解析 (2)3 【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线； （2）利用勾股定理即可求出半径． 【详解】（1）证明：连接．    平分， ． 又， ， ， ， ． 又点在上， 是的切线． （2）解：设的半径为， ， ， 即， 解得， 的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理． 【变式训练】 1．（2023·广东湛江·校考一模）已知：如图，是的直径，于点，点是上的一点，连结并延长与的延长线交于点，连结、，且．    (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明可得，由过半径外端垂直于这条半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）根据求出，进而利用勾股定理求出，再利用在中，求出半径即可. 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴，，