(讲义)第7章 第3节 万有引力理论的成就-【提分教练】2023-2024学年新教材高中物理必修第二册(人教版2019)

第3节　万有引力理论的成就 1．了解万有引力定律在天文学上的应用，掌握解决天体运动问题的基本思路。 2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。 3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。 　“称量”地球的质量　计算天体质量 1．“称量”地球的质量 (1)合理假设：不考虑地球自转。 (2)“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝。 (3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。 2．计算天体质量 (1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝。 (2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量。 (3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝。 1969年7月21日，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。 【问题】 (1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？ (2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？ (3)若月球半径R已知，航天员身边有些质量已知的钩码、弹簧测力计和停表等一些简单工具，试想一下：航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？ 提示：(1)能求出地球的质量。利用G＝mr，求出的质量M＝为中心天体即地球的质量。 (2)不能。由G＝mr可知，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的公转周期T、公转半径r无法计算月球的质量。 (3)方法1：航天员在月球上用弹簧测力计测出质量为m的物体重力为F，则F＝G，故M＝。 方法2：用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知G＝mR，故M＝。 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算 (1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。 (2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 【典例1】　如图所示，是美国的卡西尼号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若卡西尼号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是(　　) A．M＝，ρ＝ B．M＝，ρ＝ C．M＝，ρ＝ D．M＝，ρ＝ D　[对卫星有G＝mω2(R＋h)，ω＝＝，解得M＝，土星的体积V＝，土星的密度ρ＝＝，D正确。] 　求解天体质量和密度时的两种常见误区 (1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是围绕中心天体运动的行星(或卫星)的质量。 (2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 [跟进训练] 1．(2022·山东省实验中学期中)若已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是(　　) A．1023 kg　　　　 B．1021 kg C．1022 kg D．1024 kg D　[在地球表面有＝mg，代入数据得M≈6.02×1024kg，D正确，A、B、C错误。] 2．我国嫦娥二号可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量为G，要测定月球的密度，仅仅需要(　　) A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定月球的体积 D．测定飞船的运行速度 A　[当测定飞船在月球表面附近的运行周期为T时，设月球半径为R，飞船受到月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律G＝mR，可得月球的质量M＝，则月球的密度ρ＝＝＝，可见月球的密度可以测定，故A正确；测定飞船的环绕半径，即已知月球的半径