圆锥曲线选填训练题-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线 一、多选题 1．已知是椭圆上不同的三点，记的面积分别为（为坐标原点）.若，则（    ） A． B． C． D．为定值 2．已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线为切点，则（    ） A．点与曲线上点的最小距离为 B．线段长度的最小值为 C．的最小值为 D．存在点，使得的面积为 3．已知与，则下列说法正确的是（    ） A．与有2条公切线 B．当时，直线是与的公切线 C．若分别是与上的动点，则的最大值是3 D．过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是 4．已知椭圆：的左右焦点为，，若为椭圆上一动点，记的内心为，外心为，重心为，且内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．为定值 D．的最小值为2 5．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（    ） A． B．直线l的斜率为 C．，，成等差数列 D．的内切圆半径 6．已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为 . 7．已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为 . 8．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .    9．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作半径为1的圆，点，为圆上的动点，且，点为一定点，倍长至，则线段的最大值为 ．    10．在平面直角坐标系中，已知，圆，在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数），则的坐标为 ． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．BC 【分析】先证明：设，不共线，则．然后设，，，求出，代入后利用三角恒等变换得出，从而可判断各选项． 【详解】先证明：设，不共线，则． 若，则， 若， 当中有一个为0时，例如，则易得， 当都不为0时， 设直线与轴交点为，直线方程为， 令是， 当时，， 当时，， 综上，， 由已知设，，， 则，同理，， 由得， ， ， ， ， ， 由题意中任意两点都与原点不共线，即，， 所以，， 所以，，从而或, 所以，， 故选：BC． 【点睛】易错点睛：本题中利用三角换元法或称为椭圆的参数方程设出三点的坐标后，易错点是得出后容易得出，要注意换元后参数的意义，在中，，因此不能得出． 2．CD 【分析】设点，由，求得，由圆的性质，取得点与曲线上点的最小距离为，可判定A不正确；由，求得的最小值为，可判定B错误；设，在直角三角形中，求得，得到，结合函数的单调性，可判定C正确.结合C选项求出面积的最小值可判断D. 【详解】对于A，因为，设，则，可得曲线的轨迹为圆. 方程为直线： ，圆心到直线的距离为， 则点与曲线上点的最小距离为，故A错误； 对于B，由图可知，在直角三角形中，，要使得线段的长度最小，则取最小值，由选项A可知，长度的最小值为，故B错误； 对于C，设，则， 在直角三角形中，，， 所以， 所以 令，又，所以，又函数在区间上单调递增， 所以，即的最小值为3，故C正确； 对于D，由切线长定理知，直线垂直平分线段，得 ， 当且仅当与直线垂直时取等号，即弦长度的最小值为. 此时，设的中点为， 则， 所以， 所以的面积的最小值为，又，， 的面积所以存在点，使得的面积为3，故D正确. 故选：CD. 【点睛】关于切线长最小值问题，本题中是把切弦长问题根据勾股定理转化为圆心到直线的距离最短问题进行解决. 3．BD 【分析】根据圆心距和半径之间的关系可判断A；计算圆心到直线的距离可判断B；结合两圆外切求得的最大值判断C；求出弦长即可求得四边形的面积判断D. 【详解】由题意知的圆心，半径的圆心，半径，所以， 所以与相外切，有3条公切线，错误； 当时，点到直线的距离， 即与相切； 点到直线的距离， 即与相切； 所以直线是与的公切线，正确； 由于与相外切，故的最大值为，C错误； 连接，则， 根据勾股定理可得，    所以四边形的面积，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确两圆的位置关系，即判断出两圆外切，则圆的公切线问题即可解决. 4．ACD 【分析】利用基本不等式求出的取值范围，再由余弦定理求出，即可判断A；利用分析可得，求出面积的最大值，可判断B；根据题意，由椭圆的定义，结合平面向量数量积的运算，即可判断C，利用正弦定理得到，即可得到，结合