4.3等比数列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3等比数列 等比数列的通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：______. 该式又可以写成，这表明q≠1时，是常数与指数函数（关于n）的乘积. （2）前n项和公式： 当q≠1时，该式又可以写成，这表明q≠1时，的图象是指数型函数图象上一群孤立的点. 注：若（AB≠0，q≠0，1），则是等比数列⇔A＋B＝0. 等比数列的性质 （1）与项有关的性质 ①在等比数列中，. ②在等比数列中，若，则_ ___＝___ ____. ③在公比为q的等比数列中，取出项数成等差数列的项，…，仍可组成一个等比数列，公比是 ④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积. ⑤若，均为等比数列，公比分别为，则仍为等比数列，且公比为；仍为等比数列，且公比为；仍为等比数列，且公比为. ⑥当是公比为q（q>0）的正项等比数列时，数列是等差数列，首项为，公差为 （2）与和有关的性质 ①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即，…，仍为等比数列，且公比为（q≠－1，或q＝－1且k为奇数）. ②在等比数列中，若项数为，则＝q. ③在等比数列中，当时，， ④在等比数列中， 1-1、下列说法中正确的是（    ） A．等比数列中的某一项可以为 B．常数列既是等差数列，也是等比数列 C．若是等比数列，则不一定是等比数列 D．若，则a，b，c成等比数列 1-2、已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 1-3、在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 2-1、已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．7 B．9 C．81 D．3 2-2、已知为等比数列，，，则（    ） A．3 B． C． D． 2-3、已知公比大于1的等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 3-1、已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和分别为，求. 3-2、等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知,，则的值是（    ） A．28     B．32     C．35     D．41 3-3、设等比数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3-4、已知等比数列中，，则 . 4-1、已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4-2、记为等比数列的前n项和．已知，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 4-3、已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5-1、已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______. 5-2、已知等比数列的公比，且，则=________． 5-3、等比数列的前项和为，，，则为（   ） A． B． C． D．28或-21 5-4、已知正项数列的前项和为，且满足，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 6-1、求和： （1）； （2）. 6-2、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 6-3、设数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前n项和． 6-4、单调递增的等比数列满足，且是，等差中项. (1)设，求数列的前n项和； (2)若（1）中满足对于恒成立，求实数的取值范围. 练习： 1、（多选）在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（    ） A． B． C．2 D．4 2、记为等比数列的前项和.若，则__________. 3、记正项递增等比数列的前项和为，若，则__________. 4、已知是等比数列，，，则____. 5、设等比数列满足，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 6、已知数列是等比数列，若，且数列的前n项乘积，n的最大值为（    ） A．10 B．11 C．20 D．21 7、在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于_____. 8、已知数列的前n项和为，，，，其中为常数． (1)证明：； (2)若数列为等比数列，求的值． 9、已知数列满足（且），，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和； 10、已知数列中，，且满足.