平面向量的加减法讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的加减法运算 【知识梳理】 一、向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 二、向量加法的运算律 向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三、相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 四、向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【学习目标】 1. 理解向量加减法的定义与几何意义，能用三角形法则和平行四边形法则做出两个向量的和向量与差向量。 2. 理解向量加法的交换律与结合律，并用其进行向量运算。 3. 能把一个向量写成两个向量差的形式，并进行向量减法的运算。 【例题分析】 例1.如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量： （1）； （2） （3）． 巩固.（1）已知，求的取值范围，并指出当向量满足什么条件时，分别取到最大值和最小值。 （2）在四边形中，求的值。 例2. 化简 （1） （2） 例3 如图所示，已知，，，，，，试用、、、、、表示下列各式： （1）； （2）； （3）. 例4. （1）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点. 求证：＋＋＋＝4. （2）如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：． 巩固. 如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证： 【课时训练】 一、单选题 1．下列三个命题：①，，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则.其中正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．向量 A． B． C． D． 3．如图所示，在正六边形中，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 4．如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是 A． B． C． D． 5．化简下列各式： ①；②；③；④. 其中结果为的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．，为非零向量，且，则（ ） A．，同向 B．，反向 C． D．，无论什么关系均可 7．已知下列式子：①；②；③；④其中，一定不成立的个数是（ ） A． B． C． D． 8．下列说法中,正确的有（ ） ①如果非零向量与共线,那么的方向必与之一的方向相同; ②在中,必有; ③若,则A,B,C为的三个顶点; ④若均为非零向量,则与一定相等 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．在平行四边形中，设，，，，下列式子中不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．平面上有三点A，B，C，设，，若与的长度恰好相等，则有(　　) A．三点必在同一直线上 B．必为等腰三角形且为顶角 C．必为直角三角形且 D．必为等腰直角三角形 二、填空题 11．在菱形中，，，则__________． 12．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有____． ①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋． 三、解答题 16．向量如图所示，据图解答下列问题： （1）用表示； （2）用表示； （3）用表示； （4）用表示. 17．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：． 18．如图所示，已知在矩形中，，.设，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$