4.1数列的概念（四大题型）讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1数列的概念 题型汇总 题型1：题型一 数列的定义 例1.下列说法正确的是（    ） ①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为； ③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列 A． ①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值， 依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 【变式1-1】如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________． 【详解】由题意得，故， 故答案为：18 【变式1-2】已知数列：，则是数列中的（    ） A．第18项 B．第19项 C．第20项 D．第21项 【详解】将数列分为第1组1个，第2组2个，……，第n组n个， 即， 则这n组中，每一组中数的分子、分母的和为， 所以是第6组的第3个数，在数列中的项数为， 故选:A. 【变式1-3】在数列中， ， ，则（　　） A．数列单调递减 B．数列单调递增 C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减 【详解】由 ，，得 ， ，且可知 ． 再由，两边平方得 ①， 则 ②， ②﹣①得： ，∴ ， ∵，∴与 同号, 由 ，可知， ，即 ， 可知数列单调递减． 故选：A． 题型2：数列的通项公式 例2.如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解： 解：令， 解这个关于n的方程，得（舍去），或． 所以，120是数列的项，是第10项． 【变式2-1】 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，…； （2）2，0，2，0，…． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为． （2） 这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为． 【变式2-2】已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（    ） A．4 B．12 C．24 D．32 【详解】由题意，， 故选：B 【变式2-3】若数列满足，，则______． 【详解】因为，，所以所以 所以故答案为：24 【变式2-4】已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由，得，，，，． 又，，又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为．故选：B． 题型3：数列的递推公式 例3.数列满足，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【详解】因为，， 所以，，，，，…， 所以数列是周期数列，周期为3，所以， 所以. 故选：A. 【变式3-1】已知数列的首项为2，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【详解】因为，所以由已知可得 ，，，. 所以数列是以4为周期的数列， 所以. 故选：C. 【变式3-2】已知数列满足,,,则______. 【详解】解:由题知,∵,,,∴, 同理可得,,,,,∴数列为以6为周期的周期数列, .故答案为:0 题型4：数列的前n项和公式 例4.已知数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因，则． 故选：C 【变式4-1】已知数列满足前项和，则通项公式为___________. 【详解】根据已知条件 当时,; 当时, 综上,可得 故答案为: 【变式4-2】数列的前项和为，，则通项公式______． 【详解】由题知，当时，，当时，  ① 又   ②由②减去①有：， 当不满足上式，所以.故答案为：. 【变式4-3】已知数列，满足，则_______. 【详解】由题意，， 两式相减得，． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1数列的概念 题型汇总 题型1：题型一 数列的定义 例1.下列说法正确的是（    ） ①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项