1.3.2-2 基本不等式的实际应用 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

1.3.2-2 基本不等式的实际应用 导入新课 问题1：上节课我们学习了基本不等式，你能用符号语言和文字语言分别表述基本不等式吗？ 符号语言：若实数，则，当且仅当时，等号成立. 文字语言：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 导入新课 问题2：把一段长为16cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，填写表格， 并思考当矩形的长、宽分别为何值时，面积最大. 你能用我们学习的不等式的知识求解和证明这个问题吗？ 这就是我们这节课要研究的问题. 思考交流，获得新知 问题3：设矩形的长为，宽为，则.矩形的面积，则s的最大值是多少？如何求解？ 解：由基本不等式，得，所以.又因为当时，，由此可知，边长为4cm的正方形的面积最大. 探究新知 问题4：类比上面的方法，说明：面积为的所有不同形状的矩形中，边长为4cm的正方形的周长最小. 让学生思考、交流、讨论，然后展示与分享. 展示：由基本不等式，得，即，所以.又因为当时，，周长的最小值为，由此可知，边长为4cm的正方形的周长最小. 探究新知 探究新知 抽象概括，得出结论 重要结论： 当均为正数时，下面的命题均成立： （1）若（s为定值），则当且仅当时，取得最大值； （2）若（p为定值），则当且仅当时，取得最小值. 探究新知 问题5：思考：如何证明上面的两个结论？ 证明：（1）由基本不等式和，得， 所以.当且仅当时，等号成立，此时取得最大值. 请学生自己独立完成（2）的证明过程. 探究新知 问题6：你能说说运用基本不等式能够解决什么样的问题吗？ 学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积是定值，当这两个数取什么值时，求它们和的最小值”，或者“两个正数的和是定值，当这两个数取什么值时，求它们积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决. 典例剖析 例1、如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计） （1）现有可围36m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为24，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 典例剖析 问题7：前面我们总结了基本不等式能解决两类最值问题，本例的两个问题属于那两类问题吗？ 学生思考后回答：属于.第（1）小题可转化为：“两个正数的和是定值，当这两个数取什么值时，求它们积的最大值”的问题；第（2）小题可转化为：“两个正数的积是定值，当这两个数取什么值时，求它们和的最小值”的问题. 典例剖析 问题8：前面给出了用基本不等式解决问题的模型： （1）若（s为定值），则当且仅当时取得最大值； （2）若（p为定值），则当且仅当时，取得最小值. 怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解？ 分析 学生思考后回答：第（1）问转化为模型（1）解决； 第（2）问转化为模型（2）解决. 学生进一步回答解答过程，教师予以规范，并板书. 典例剖析 解析 设每间禽舍的长、宽分别为，禽舍的面积为，则. （1），则，. 由基本不等式，得 ，得， 当且仅当，即，时，等号成立. 因此，当每间禽舍的长、宽分别为4.5m，3m时，可使每间禽舍的面积最大，最大面积为13.5. 请同学们独立解决问题（2），答案是当每间禽舍的长宽分别为6m，4m时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小. 典例剖析 设计意图：本例是典型的能够用基本不等式求解的问题通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型解决实际问题，进一步发展学生的模型思维. 典例剖析 思考讨论（跟踪训练）： （1）已知实数，，且，求证：； （2）已知正实数，且，求的最小值； （3）已知，求函数的最小值； （4）若，且恒成立，求a的取值范围. 典例剖析 提示 （1）因为，，，所以由基本不等式，得 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故. （1）已知实数，，且，求证：； 典例剖析 （2）已知正实数，且，求的最小值； 提示 （2）因为，，，所以由基本不等式， 得，当且仅当，即，时，等号成立. 故当，时，的最小值为. 典例剖析 （3）已知，求函数的最小值； 提示 （3）因为，即， 所以，当且仅当，， 即时，等号成立. 故当时，函数的最小值为. 典例剖析 （4）若，且恒成立，求a的取值范围. 提示 （4）由题意，即求当时，函数的最大值. ，当且仅当时取“=”. 若恒成立，则，从而得a的取值 范围为. 教材第30页练习第1~4题. 先让学生独立完成，然后相互交流，最后教师点评. 巩固练习 课堂小结 教师引导学生回顾本节课学习的内容，并回答下面的问题： 1.基本不等式使用的条件是什么？ 2.如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？ 谢谢您的聆听 Copy paste fonts. Choose the only opti