专题08 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题08 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型 梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线． 图1 图2 塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F， 如图2，则 。 注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 例1.已知中，D是BC的中点，经过D的直线交AB于E，交CA的延长线于F，求证: 例2.如图，在中，D为BC的中点，．求． 例3.如图所示，内三个三角形面积分别5，8，10，四边形AEFD的面积为x，求x的值． 例4.已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG． 例5.如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线． 例6．（2022上·江苏镇江·九年级统考期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G， 则有，，∴． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： (1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：． (2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________． (3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________． 例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：． 例8. 如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。 例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：. 例10．（2023·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则．    任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长． 课后专项训练 1．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　） A． B． C． D． 2．（河南2022-2023学年八年级期末）如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（） A． B． C． D． 3．（2023上·上海闵行·九年级校考期中）如图，、、内分正的三边、、均为两部分，、、相交成的的面积是的面积的（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点．射线CF交AB于点E，且，则等于　　． 5．（2023年山西省实验中学中考考前适应性训练数学试题）如图，在中，，，．是边上的中线．将沿方向平移得到．与相交于点，连接并延长，与边相交于点．当点为的中点时，的长为 ． 6．（山西省2021年中考数学真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 7．（2022年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 8