专题08 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题08 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型 梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线． 图1 图2 塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F， 如图2，则 。 注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。 例1.如图，在中，D为AC中点，，求证：． 例2.如图，在中，，，AD、BE交于点，求． 例3.如图所示，被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积． 例4.已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG． 例5. 如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，求证：D、E、F三点共线。 例6．（2023·山西·期中联考）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足． 这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点． 过点作交于点，则，（依据）， ∴，∴，即． 情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．… (1)情况①中的依据指：　　 ；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明； (3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　　 例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：． 例8. 如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。 例8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。 例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：. 例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积． 课后专项训练 1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（　　） A． B．2 C． D． 2.如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（　　） A． B． C． D． 3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在中，，，，，垂足为D，E为的中点，与交于点F，则的长为