专题04 相似三角形应用（知识串讲+7大考点）-2023-2024学年九年级数学下册重难考点一遍过（人教版）

专题04 相似三角形的应用 考点类型 知识串讲 （一）相似三角形的应用举例 （1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 （2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 考点训练 考点1：相似三角形应用——测树高 典例1：（2023秋·浙江·九年级专题练习）学完了图形的相似这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树的高度，如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．    【变式1】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高．    【变式2】（2022秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，王英发现自己家门口有两棵相距8米的树和．经测量，小树的高度为4米，大树因太高不好直接测量，于是王英想到了如下测量方法：她在两棵树中间的点F处，眼睛位于E处时，观察测得小树的最高点A的仰角（视线与水平线的夹角）为，大树的最高点C的仰角为B，神奇地发现，与恰好互余，已知王英的眼睛距离地面的高度米，米、B、F、D在一条水平直线上，且、、，请你求出大树的高度． 【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度． 考点2：相似三角形的应用——影长问题 典例2：（2023春·广东广州·九年级统考期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 【变式1】（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 【变式2】（2022秋·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在D点处的影长米，沿方向行走到达G点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆的高度． 【变式3】（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方，竖起一根长的竹竿，测得竹竿影长为，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为，路灯高度为多少米？ 考点3：相似三角形的应用——测河宽 典例3：（2022春·河南南阳·九年级统考期中）如图，是方城县潘河的某一段，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A、B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A；②再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC；③再选定点E，使EC⊥BC，然后用视线确定BC和AE的交点D． （1）用皮尺测得BC＝177米，DC＝61米，EC＝50米，求河的宽度AB；（精确到0.1米） （2）请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度AB的方案． 要求：①画出示意图，所测长度用a、b、c等表示，直接标注在图中线段上； ②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a、b、c等字母的式子表示出旗杆高度AB．    【变式1】（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）周末，小马和小聪想用所学的数学知识测量图书馆前小河的宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所在的