专题03 相似三角形的性质（知识串讲+8大考点）-2023-2024学年九年级数学下册重难考点一遍过（人教版）

专题03 相似三角形的性质 考点类型 知识串讲 （一）相似三角形的性质 如图：两个三角形相似，则有对应边成比例 ∵；∴ 如图；两个三角形相似，则有对应角相等 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比 ∵；∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比 ∵； ∴ 如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比 ∵； ∴ 考点训练 考点1：相似三角形的性质——求线段 典例1：（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（　　）    A．2 B． C．3 D． 【变式1】（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点P是边长为5的正方形内一点，且，，垂足为点B，请在射线上找一点M，使得以B、M、C为顶点的三角形与相似，则等于（    ）    A．2或 B．2 C． D．2或 【变式2】（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长度是（    ） A． B． C．或4 D．或4 【变式3】（2023春·山东济宁·九年级统考期末）如图，矩形中，，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当时，的长为（    ）    A．3 B．4 C． D． 考点2：相似三角形的性质——求角度 典例2：（2023·甘肃陇南·统考一模）已知，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·江西南昌·统考一模）如图，的顶点在的边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（    ）． A． B． C． D． 考点3：相似三角形的性质——证明比例关系 典例3：（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③FC＝DC；④CD:AD＝:其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在中，点、分别在、上，，点在上，与交于点，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C． D． 【变式3】（2022·江苏·九年级专题练习）已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是(    ) A．BC2＝BD•AB B．CD2＝BD•AD C．AC2＝AD•AB D．BC•AD＝AC•BD 考点4：相似三角形的性质——求周长 典例4：（2023春·云南临沧·八年级校联考期末）如图，在中，的周长是18，D、E分别是边的中点，则的周长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．12 【变式1】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）已知，，，则的周长与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022秋·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是边上一点，已知与的周长之比为，则为（      ） A． B． C． D． 考点5：相似三角形的性质——求面积 典例5：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　）    A． B． C． D． 【变式1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知与的相似比为，则与四边形的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，的面积是，点、、分别是，，的中点，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部