函数的凹凸性与琴生不等式课件-2024届高三数学二轮专题复习

函数的凸凹性与琴生(JENSEN)不等式 1 *约翰·卢德维格·威廉·瓦尔德马尔 ·延森(Johan Ludwig William Valdemar Jensen，1859年5月8 日-1925年3月5日)，一般称作约 翰·延森(Johan Jensen)或琴生， 是丹麦数学家和工程师。 *约翰·延森最知名的是他的琴生不等式。*1915年延森也证明了存在无穷多个非正素数问题。 2 凸函数的定义1、设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2 ∈D和实数λ∈（0，1），有f[λx1+(1-λ)x2]≥λf(x1)+（1-λ）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数（又称D上的“上凸函数”）。 2、若-f(x)是区间D上的凸函数，则称f(x)是D上的凹函数（又称D上的“下凸函数”）。 3 凸函数的定义1、设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2 ∈D和实数λ∈（0，1），有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf(x1)+（1-λ）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数（又称D上的“上凸函数”）。 4 ． ； 判别法则：切线斜率凸减凹增 5 6 例1.讨论函数的 凸凹性 7 答案： 答案： 8 9 例4.【2018年全国一卷16题（小题压轴）】已知函数 ,则 答案： 10 答案:9 11 12 13 14 课堂小结： 1.函数的凸凹性怎么判断？ 2.琴生不等式是内容是什么？ 3.运用上有什么需要注意的？ ——自变量均值的函数值或函数的均值中谁为定值，等号成立的条件怎样？可以构造什么样的函数？ 15 反思：高考命题中的难题及较难题历来有“来源于教材但又略高于教材”之特点。 结合省内外历届高考中考而优的考生答题情况（据传八中有考生1个小时做到143分的，绵阳中学有56分钟做满分的...... ），我们有理由怀疑，所谓的高手，无非就是他们比普通人懂得更多。 本课内容属大学数学内容，但对高中数学中解决值域问题、不等式问题均有很大帮助。 谨以此课作为一个引领大家开阔视野的专题。 16 一、为什么要同时研究新旧高考卷？ 10年前的高考改革，高考数学从大纲卷转向新课标卷，考试题型和内容发生了一定程度的变化，贵州省2013年正式加入新课标卷的队伍当中，2012年是最后一次使用大纲卷。 以上3个题是2012年高考大纲卷的3个相对较难的试题。通过分析，不难感受到2012年的试题难度是非常大的，13年正式进入新课标卷之后，难度反而有所降低，并且持续保持平稳直至2016年整体难度才再次明显提高。再过两年，贵州省也将加入新高考卷的队伍，我们站在这个转折点上。应该关注新高考卷，因为这次高考改革的力度明显高于10年前，高考改革要实现平稳过渡，旧高考卷就不可避免地会渗透一部分新高考的出题理念。 以上几个试题案例是将八省联考的试题和今年高考四套卷子做了一个简单的对比，可以看得出，八省联考试卷是教育部考试中心命制的，指导性和含金量都很高。尽管我们不是命题专家，但是我们应该对命题的方向保持敏锐的触觉，提前解放自己的思想，在教学中讲这些变化融入进去，在考试中将这些变化体现出来，这才是打有准备的仗。 二、结合四套考高试卷的研究，未来的复习备考应该注意些什么？ 高考考纲已经取消了，现在只剩高考考试说明和考试评价体系，但这两样东西实在是过于虚无缥缈，难以从中解读出太多有效的信息。今年的新高考卷是具体的，相比于评价体系更有研读的价值。以下仅从几个方面简单谈一下对备考复习的建议。 1、重视概念复习 概率统计的考查的加强不只是体现在大题上，也在小题上突出了对概念的考查。 2、适当关注应用型的问题 应用型的问题建议在周末练和月考中适当体现。并且不必完全拘泥于三角和数列。 3、要适当关注题型的变化 18题是21年全国家甲卷的大题，考查了不良结构的问题，实际上更多的是考查学生的基本功，对中上水平的学生来说，问题其实不大。而第20题是新高考2卷的解析几何大题，考查了充要条件的证明，可以说这种形式的大题，如果学生没有经过规范的训练是难以做好的。 概率统计大题难度的加大并一定是复杂数据的处理，也会体现在对问题本身的分析解读上。例如20年的概率统计大题。 4.重视教材上的阅读材料以及平常容易忽略的冷点知识 祝 学 业 顺 利 34 $$