专题4.4 与角有关的旋转问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题4.4 与角有关的旋转问题 【典例1】如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于且大于）．    （1）若， ______， ______； （2）的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； （3）在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 【思路点拨】 （1）由周角求出，根据求得，，从而求出，再根据角平分线定义求出和，从而可得出结论； （2）设，则，，再用含a的式子表示，，代入可得结论； （3）求出，，分五种情况讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解∶∵，， ∴， ∵， ∴，； ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， 故答案为∶，； （2）解：的值不会随着的变化而变化， 理由如下∶ 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不会随着的改变而改变； （3）解：，， 且题目中所出现的角均小于且大于， 当， （）时，    ∵， ∴， 此时，无解； 当， （）时，    ∵， ∴， 解得，； 当， （），    ∵， ∴， 此时无解． 当， （），    ∵， ∴， 解得：． 当， （），    ∵， ∴， 此时无解． 综上：t的值为76或者． 1．（2023上·河南漯河·七年级统考期末）如图，．    （1）若平分，求的度数； （2）渃，求的度数； （3）若射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为（单位：秒），且，求当时的值． 2．（2023上·山东济南·七年级校考期末）已知直线过点O，，是的平分线． （1）操作发现：①如图 1，若，则 °． ②如图1，若，则 °． ③如图1，若，则 ．（用含α的代数式表示） （2）操作探究：将图 1 中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由． （3）如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后， 3．（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．    （1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，求此时的度数； （2）若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； （3）若在三角板开始转动的同时，射线也绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线平分．直接写出的值．（本题中的角均为大于且小于的角） 4．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考开学考试）平面上顺时针排列射线，，，射线分别平分，（题目中所出现的角均小于）． （1）如图1，若，则___________，___________； （2）如图2，探究与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点O以每秒逆时针旋转，若旋转时间为t秒，当时，直接写出t的值． 5．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）如图，点在同一条直线上，从点引一条射线，且．    （1）求的度数． （2）将绕点顺时针旋转（，且不是的整数倍）得到，在内引射线，在内引射线，且．． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的大小． 6．（2023上·广东广州·七年级校考期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”例如，如图，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 （1）如图，，射线是射线的友好线，则为多少度； （2）如图，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； ②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请直接写出所有答案； 7．（2023上·山东济南·七年级校考期末）点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线 和射线，使得，作的平分线． （1）求与的度数； （2）作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数； （3）如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间． 8．（2022上·江西新余·