专题4.3 与角有关的计算（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题4.3 与角有关的计算 【典例1】已知∠AOB=120°，∠COD=60°． （1）如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD=95°，求∠BOC的度数； （2）如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE =∠AOC，∠DOF=∠BOD，求∠EOF的度数． 【思路点拨】 （1）先求出，然后再根据，即可求出； （2）根据和，即可作出判断； （3）设，分情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）与互补；理由如下： ∵，， ∴ ， ∴与互补． （3）解：设， ①当时，如图3， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，点在的延长线上，   则，，，   ∴，， 此时与或重合， 当与重合时，， 当与重合时，， ③当时，如图， ，， ∵， ， ， ∴； ④当时，如图，点在的延长线上， 则，， ∴，此时与或重合， 当与重合时，， 当与重合时，； ⑤当时，如图， ，， ∵， ， ， ∴， 综上：当或时，； 当时，； 当或时，或． 1．（2022上·云南红河·七年级统考期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． （1）当时，求的度数． （2）请你猜想和的数量关系，并说明理由． 2．（2022上·福建厦门·七年级统考期末）如图，是直线上一点，是的余角，射线平分．    （1）若，求的度数； （2）若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由． 3．（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：平分，和互为补角．    （1）如图，求的度数； （2）如图，平分，求证：； （3）如图，在（）的条件下，连接，，，求的度数． 4．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．    （1）如图1，求证：； （2）如图2，作平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数． 5．（2023下·广东河源·七年级校考开学考试）已知和是直角．    （1）如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系； （2）如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数； （3）如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 6．（2022下·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．    （1）如图1，若平分，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数； （3）如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系． 7．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）如图，、、在同一条直线上，射线平分，设．    （1）当时，求的度数； （2）若在的内部画射线，使，求证：与互余； （3）若与互余，求（可用含的代数式表示）． 8．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. （1）如图1，当时，若，求的度数； （2）备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； （3）备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 9．（2023上·重庆秀山·七年级统考期末）已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， （1）如图，当时，求的度数； （2）请你补全图形，并求的度数． 10．（2023下·广东广州·七年级统考期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得． （1）如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°； （2）如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系； （3）过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数． 11．（2022上·福建福州·七年级福州黎明中学校考期末）已知O是直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，． （1）如图1，，，当平分时，求的度数； （2）若 ①如图2，射线平分，求与的数量关系； ②，射线在直线下方，，平分，当时，求的度数． 12．（2023下·河北邯郸·七年级统考期末）已知，过顶点O作射线，且平分． （1）如图1，若平分，则的度数为___________； （2）若，求的度数； （3）嘉嘉说：“如图2，若在内，平分，则的度数不变．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由