1.5 三角形函数的应用（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 第5节 三角函数的应用 学习目标 1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.（难点） 情景引入 1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形. 2.直角三角形中诸元素之间的关系： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理）； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系： 把∠A换成∠B同样适用. 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 三角函数的应用 1— 如图，海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始时在A岛的南偏西55°，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗？ 东 北 A B C 25° 55° A B 55° C 25° 你是怎样想的？与同伴进行交流. 20海里 D 解: 过A点作BC的垂线AD，则AD的长即为货轮距离小岛的最短距离.若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险.设AD=x. x Rt△ABD中, Rt△ACD中, ∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25° ∴x= ≈20.79 海里 ∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. 1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法： (1)弄清题意，画出示意图； (2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题； (3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线； (4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算； (5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答． 典例精析 例1.如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计). D A B C ┌ 50m 300 600 设CD长为x米,则∠ADC=60º,∠BDC=30º, 解:如图,根据题意知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.求ＣＤ的长 在Rt△ADC中,tan60º= 在Rt△BDC中,tan30º= ∵AC-BC=AB ( ) . 3 25 3 3 3 50 30 tan 60 tan 50 0 0 m x = - = - = D A B C ┌ 50m 300 600 答:该塔约有 m高. 3 25 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 65° 34° P B C A 议一议 解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34° 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里． 65° 34° P B C A 典例精析 例2.如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号) 解：在Rt△ABC中， 在Rt△ACD中， ∴BD＝BC－DC 总结 1.首先要弄清题意,结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论. 2.找出问题中有几个直角三角形,或通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 3.方程思想、转化思想的运用. 典例精析 例3.如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且 AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳( 取1.73)． (1)求楼房的高度约为多少米． (2)过了一会儿，当α＝45°时， 请说明理由． (1)当α＝60°时，在Rt△ABE中， ∵tan 60°＝ ∴AB＝10·tan 60°＝10 ≈10×1.73=17.3(m)． 即楼房的高度约为17.3 m. (2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳． 理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射 下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM的交点 为点H(如下图)． 解： ∵∠BFA＝45°， ∴tan 45°＝