专题08 函数的应用（一）（考点清单）-2023-2024学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题08 函数的应用（一）（考点清单） 目录 一、思维导图 2 二、知识回归 2 三、典型例题讲与练 5 考点清单01：函数的零点 5 【期末热考题型1】求函数的零点 5 【期末热考题型2】函数零点个数 6 【期末热考题型3】判断函数零点所在区间 9 【期末热考题型4】已知零点个数求参数的取值范围 10 考点清单02：二分法 14 【期末热考题型1】确定零点（根）所在区间 14 【期末热考题型2】用二分法求函数的零点的近似值 16 考点清单03：函数模型的应用 19 【期末热考题型1】指数函数模型 19 【期末热考题型2】对数函数数模型 20 【期末热考题型3】拟合函数模型的应用题 23 一、思维导图 二、知识回归 知识点01：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点02：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点03：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 知识点04：区间中点 对于区间，其中点 知识点05：二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 知识点06：常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 三、典型例题讲与练 01：函数的零点 【期末热考题型1】求函数的零点 【解题方法】定义 【典例1】（2023上·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）已知函数则函数的零点为 【答案】 【详解】当时，由，即，解得或（舍）， 当时，由，解得， 综上可得，函数的零点为． 故答案为：． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数， ，函数的零点为 . 【答案】 【详解】因为， 所以，则； 令，则，即， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上：函数的零点为. 故答案为：；. 【专训1-1】（2023上·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是 ． 【答案】 【详解】根据图象可得函数的零点是， 故答案为：. 【期末热考题型2】函数零点个数 【解题方法】图象法 【典例1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】   设， 设，则. 又，所以1是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点. 结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点. 综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点. 故选：C. 【典例2】（2023·全国·高一随堂练习