专题5.2 一次函数与面积综合运用（三大题型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题5.2 一次函数与面积综合运用（三大题型） 重难点题型归纳 【题型1 常规三角形面积】 【题型2 铅垂法求面积】 【题型3 等底转化】 【题型1 常规三角形面积】 【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。 【典例1】（2023秋•福田区校级期中）如图1，直线l1：y＝x+2 和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB． （1）求点A的坐标及直线l2的函数表达式； （2）求△ABC的面积； . 【变式1-1】（2023秋•武进区期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值； （3）P（0，a）为y轴上的一动点，当△ABP的面积为15时，求a的值． 【变式1-2】（2023秋•金山区期中）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数图象上有一点A（3，2），点B在x轴上，作直线AB，与y轴交于点C，且∠ABO＝45°． （1）求正比例函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）在直线OA上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△BOC的面积？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（2023春•东昌府区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴y轴分别交于点A（10，0），B（0，5）．点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF．设点F的横坐标为x． （1）求一次函数的解析式； （2）求△OAF的面积S与x之间的函数关系式； （3）当△OAF的面积，判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由． 【变式1-4】（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点． （1）求A，B两点的坐标； （2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式； （3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-5】（2023春•顺平县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（﹣3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，点B与点D关于直线AC对称，且点D在x轴负半轴上． （1）直接写出线段AB的长； （2）求直线AB的函数解析式； （3）求点C和点D的坐标； （4）y轴上是否存在一点P，使得△PAB的面积等于△OCD的面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 铅垂法求面积】 【解题技巧】对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。比如求△ABC的面积，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，利用水平宽与铅垂高乘积的一半求出三角形的面积。 【典例2】（2021秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB． （1）求直线l1的解析式； （2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）； （3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标． 【变式2】（秋•铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m． （1）n的值为　　； （2）用含有m的式子表示线段CP的长； （3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标； （4）在（3）的条件下，把直线AB沿着y轴向下平移，交y轴于点M，交线段BP于点N，若点D的坐标为，在平移的过程中，当∠DMN＝90°时，请直接写出点N的坐标． 【题型3 等底转化】 【典例3】（秋•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足﹣a＝3． （1）求直线l2的解析式． （2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（