3.2.2第1课时奇偶性的概念导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 知识点　函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　  一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　  定义域 关于　　　　对称  图象 特征 关于　　　　对称  关于　　　　对称  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. (　 ) (2)函数y=x2+1,x∈(0,+∞)是偶函数. (　 ) (3)存在一个既是奇函数,也是偶函数的函数. (　 ) (4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数. (　 ) (5)奇函数f(x)的定义域为R,若f(-2)=3,则f(2)=-3. (　 ) 探究点一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= |x+2|+|x-2|; (2)f(x)=+; (3)f(x)=x3+3x,x∈[-4,4); (4)f(x)=; (5)f(x)= 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)=2-|x|; (3)f(x)=; (4)f(x)=|x-a|+|x+a|(a∈R且a≠0). 拓展 [2023·北京昌平区高一期末] 设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　 ) A.y=f(x+1)+1 B.y=f(x-1)+1 C.y=f(x+1)-1 D.y=f(x-1)-1 探究点二　奇偶函数的图象特征 例2 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图3-2-4所示. (1)请补全函数f(x)的图象; (2)根据图象直接写出函数f(x)的单调区间; (3)根据图象写出满足f(x)<0的x的取值范围. 图3-2-4 变式 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图3-2-5所示. (1)补全f(x)的图象; (2)解不等式xf(x)>0. 图3-2-5 探究点三　利用函数奇偶性求值 例3 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.  (2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=　　　　.  (3)已知f(x)=x5+ax3+bx,且f(-2)=10,则f(2)= 　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1) [2023·山西晋城一中高一月考] 若函数f(x)=为奇函数,则a+b= 　　　　.  (2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=x2-x,则f(1)-g(1)=　　　　.  (3)已知F(x)=ax7+bx5+cx3+dx-6,F(-2)=10,则F(2)=　　　　.  3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 【课前预习】 知识点 f(-x)=f(x)　f(-x)=-f(x)　原点　y轴　原点 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　[解析] (1)例如f(x)=x2,存在x=0,使f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数. (2)函数y=x2+1,x∈(0,+∞)的定义域不关于原点对称,因此不具备奇偶性. (3)存在f(x)=0,x∈R既是奇函数,也是偶函数. (4)函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数. (5)因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=3,所以 f(2)=-3. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1) f(x)=|x+2|+|x-2|的定义域为R,f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),故f(x)为偶函数. (2)由得x=±1,则f(x)的定义域为{-1,1}. ∵f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x),∴f(x)既是奇函数,也是偶函数. (3)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4∉[-4,4),∴函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数,也不是偶函数. (4)由得-3≤x≤3且x≠0, 则f(x)的定义域为[-3,0)∪(0,3]. ∵f(x)===, ∴f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数. (5)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x>0时,f(x)=x2+2x, ∴当x<0时,-x>0,