第二十一题 双曲线-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅱ卷专用）

第二十一题 双曲线 真题展示与解法精粹 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上. 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 9．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 10．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 11．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 12．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 13．（2021·全国·统考高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 四、解答题 14．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 15．（2021·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·模拟预测）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（    ） A．或0 B．－2 C．或0 D．3 5．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，直线：与渐近线和y轴分别交于点M，E，且，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线，为的左焦点.经过原点的直线与的左、右两支分别交于A，两点，且，，则的一条渐近线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 8．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（