第二十题 空间向量与立体几何-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅱ卷专用）

第二十题 空间向量与立体几何 真题展示与解法精粹 如图，三棱锥中，，，，为的中点． （1）证明：； （2）点满足，求二面角的正弦值． 典型高考真题 一、单选题 1．（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 二、多选题 2．（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 三、解答题 3．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 4．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 5．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 8．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 9．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 10．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 11．（2021·北京·统考高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 12．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）给出下列命题，其中错误的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．两个非零向量与任何一个向最都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，若三棱锥的体积等于时，异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 4．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在平面与直线垂直 B．四边形可能是正方形 C．不存在平面与直线平行 D．任意平面与平面垂直 6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知在长方体中，，，在线段上取点M，在上取点N，使得直线平面，则线段MN长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（    ）    A． B．4 C． D． 8．（2023·湖北·校联考三模）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·湖南·校联考模拟预测）正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的