24.2.1 点和圆位置关系 (第2课时反证法)课件2023-2024学年人教版九年级数学上册

　反证法 2023—2024学年人教版数学九年级上册 　　王戎七岁，尝与诸小儿游，看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动．人问之，答曰：“树在道旁而多子，此必苦李．”取之信然． 　　译文：王戎七岁的时候，有一次和一些小孩儿出去游玩，看见路边的李树挂了很多果，压弯了树枝，小孩儿们争先恐后跑去摘李子，只有王戎站着不动．别人问他，他回答：“树长在路边，还有这么多李子，这一定是苦的李子．”拿李子来一尝，果真是苦的． 　　王戎是如何知道李子是苦的？他用了什么方法进行推断的？ 假设“李子甜”，李树长在路边，有许多人采摘，李子少 与已知条件“树在道旁而多子”产生矛盾，假设不成立 结论“树在道旁而多子，此必苦李”是正确的 　　王戎用了间接推理和判断的方法，从反面论述了李子为什么是苦的． 　　我们知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆．如果 A，B，C 三点在同一条直线上，经过点 A，B，C 还能作出一个圆吗？ 探究 A B C m n 　　过同一条直线上的三个点不能作圆． 　　已知：A，B，C 是直线 l 上的三点． 　　求证：经过 A，B，C 三点不能作一个圆． A B C l 探究 　　如何证明你的结论？ l1 l2 A B C l P 　　证明：假设经过 A，B，C 三点可以作一个圆． 　　设这个圆的圆心为 P．∵PA＝PB＝PC， 　　∴点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，也在线段 BC 的垂直平分线 l2 上，即点 P 为 l1 与 l2 的交点， 　　而 l1⊥l 与 l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾． 　　∴经过同一条直线上的三点 A，B，C 不能作圆． 　　上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立． 　　这种方法叫做反证法． 反证法 　　已知：在△ABC中，AB≠AC． 　　求证：∠B≠∠C． 　　证明：假设___________， 　　∴___________（___________） 　　这与_________________矛盾． 　　假设不成立． 　　∴___________． A B C ∠B＝∠C AB＝AC 等角对等边 已知 AB≠AC ∠B≠∠C 练习 　　如何证明“过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”？ 探究 A B C D 　　已知：四边形 ABCD 中，∠B＋∠D＝180°． 　　求证：A，B，C，D 四点共圆． A B C D 　　分析：不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过 A，B，C 三点的⊙O，再证明第四点（点 D）在⊙O 上． 　　已知：四边形 ABCD 中，∠B＋∠D＝180°． 　　求证：A，B，C，D 四点共圆． 　　如何证明点 D 在⊙O 上？ O 思考 　　假设点 D 不在过 A，B，C 三点的⊙O 上，会出现哪些情况？你能对它们进行证明吗？ 　　假设点 D 不在⊙O上，则点 D 在⊙O 内或点 D 在⊙O 外． A B C D O A B C O D 　　证明：过 A，B，C 三点作⊙O，假设点 D 不在⊙O上，则点 D 在⊙O 内或点 D 在⊙O 外． 　　（1）若点 D 在⊙O内，延长 AD 交⊙O于 E，连接 CE，则∠B＋∠E＝180°． A B C D O E 　　∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠E． 　　这与△CDE 中，∠ADC＞∠E 矛盾， 　　∴点 D 不在 ⊙O 内． 　　已知：四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°． 　　求证：A，B，C，D 四点共圆． A B C O D E 　　（2）若点 D 在⊙O 外， 　　设 AD 交⊙O 于 E，连接 CE，则∠B＋∠AEC＝180°． 　　∵∠B＋∠D＝180°， 　　∴∠D＝∠AEC． 　　这与 △CDE 中，∠AEC＞∠D 矛盾， 　　∴点 D 不在 ⊙O 外． 　　综上，假设不成立，即点 D 在过 A，B，C 三点的圆上． 　　用反证法证明命题的一般步骤是什么？ 思考 　　第1步：假设命题的结论不成立． 　　第2步：从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果． 　　第3步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的． 14 　　例1 用反证法证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 　　解：已知：如图，直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB，CD 分别相交于点 G，H．求证：∠1＝∠2． 　　根据“两条直线被第三条直线所截，