4.1 数列的概念（第二课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念 （第二课时） 滕州一中 邢启强 邮箱250019599@qq.com 1 2.数列的分类： (1)按项数多少分类： 有穷数列 ，无穷数列。 (2)按增减性分类： 递增数列、递减数列、常数列。 温故知新 1.数列的有关概念 3.数列与函数 数列是一种特殊的函数，数列的项是序号的函数。 4.数列通项公式 提升训练： 例3 例3 例3 例3.如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：令n2+2n=120 ， 解得 n=-12（舍）或n=10， 所以 120是数列的项，是第10项。 新知探究 例3 例3 例4.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。 解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27, 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是 . 换个角度观察图中的4个图形，可以发现， ①a1=1, ②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形， ③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。 这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1, a2 =3 a1, a3 =3a2, a4 =3a3,由此猜测这个数列满足公式 递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 已知数列的第1项(或前几项)以及递推公式，就能求出数列的每一项。 递推公式： 例5：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项。 通项公式和的递推公式之间的差别与联系： 练习1 根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公式： (2)a1＝1，an＋1＝ 2an an＋2 (n∈N*)． 解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4， a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2. (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； 在数列{an}中， （1）求数列{an}的前5项 （2）求a2021 解：(1) ，a2=-1，a3=2， ，a5=-1 （2）周期为3，2021=3×673+2，所以a2021=a3×673+2=a2=-1。 练习2 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn ，即 Sn =a1+a2+...+an. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 练习： (1)数列{an}的通项公式为an=n ，则S3= ，S5= ，S1= 。 (2)数列{an}的前n项和为Sn，S7=30，S8=40，则a8= 。 思考：an与Sn的关系？ 6 15 10 数列的前n公式： 1 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn ，即 Sn =a1+a2+...+an. 显然S1=a1 ，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2) ，于是我们有 an与Sn的关系 例5.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n, （1）求S3，S5，Sn-1;（2）求出{an}的通项公式. 解：(1)S3=32+3=12,S5=52+5=30, Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n. (2)当n=1时，a1=S1=2， 当n>1时，an=Sn-Sn-1= n2+n -[(n-1)²+(n-1)]=2n(n≥2),① 将n=1代入①式得，2×1=2=a1 所以当n=1