3.1.3函数的奇偶性(课本一例题课后一习题)-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1函数的概念与性质 3.1.3函数的奇偶性 一、解答题 1．判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 2．已知奇函数的定义域为D,且,求证:. 3．已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小. (1)是偶函数; (2)是奇函数. 4．研究函数的性质,并作出函数图像. 5．求证:二次函数的图像关于对称. 6．判断下列命题的真假: (1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数; (2)如果一个函数为奇函数,则它的定义域关于坐标原点对称; (3)如果一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数为偶函数. 7．判断下列函数是否具有奇偶性： （1）f（x）=x+x3；        （2）f（x）=-x2； （3）f（x）=x3+1；        （4）f（x）= ， . 8．已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小: (1)是偶函数; (2)是奇函数. 9．如果函数,函数可能是奇函数吗?可能是偶函数吗?说明理由. 10．求证:二次函数的图像关于对称. 11．已知函数的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性: (1); (2); (3). 12．如果函数和的定义域相同,且为偶函数,为奇函数,判断下列函数的奇偶性,并说明理由: (1); (2). 13．已知函数的定义域为R,且函数图像关于对称,在区间是增函数,判断在上的单调性. 14．是否存在函数,其既是奇函数,又是偶函数?如果不存在,说明理由;如果存在,举出实例. 15．研究函数的性质,并作出函数图像. 二、填空题 16．已知函数，且，则 ． 试卷第2页，共9页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1函数的概念与性质 3.1.3函数的奇偶性 一、解答题 1．判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义分别判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数； （3）函数的定义域为， 因为， 所以， 所以函数是非奇非偶函数； （4）因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. 2．已知奇函数的定义域为D,且,求证:. 【答案】见解析 【解析】利用奇函数的定义可得，进而得证. 【详解】证明  因为是奇函数,所以 , 即,所以,因此，即得证. 【点睛】本题考查了奇函数的性质以及定义，属于基础题. 3．已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小. (1)是偶函数; (2)是奇函数. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）利用函数是偶函数，进而比较出大小. （2）利用函数是奇函数可得，进而可比较出大小. 【详解】解  (1)因为是偶函数,所以,因此, 从而由条件可知. (2)因为是奇函数,所以,因此, 又由条件可知,从而. 【点睛】本题考查了奇偶性的应用，需熟记奇偶性的定义，属于基础题. 4．研究函数的性质,并作出函数图像. 【答案】见解析 【分析】利用函数的奇偶性定义证出函数为偶函数，再利用单调性的定义证出函数在是单调递减，然后利用作图的步骤：列表、描点、连线以及函数图像的对称性即可求解. 【详解】解  要使函数表达式有意义,需有,因此函数的定义域为, 从而可知函数的图像有左右两部分. 设,则对任意,都有,而且, 所以函数是偶函数,函数的两部分图像关于y轴对称. 下面研究函数在区间性质及图像. 任取,且， 则 ，，， ，即， 所以在上是减函数. 又因为时,,所以函数图像在右边的部分一定在第一象限.列出部分函数值如下表所示,然后可以描点作图. x 1 2 3 4 1 再根据函数是偶函数,可以得出函数的图像如图所示,而且函数的定义域为,函数是偶函数,在上单调递增,在上单调递减,函数的值域是. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义、单调性定义以及图像的作法，属于基础题. 5．求证:二次函数的图像关于对称. 【答案】见解析 【解析】验证与相等即可得证. 【详解】证明：任取,因为, , 所以,这就说明函数的图像关于对称. 【点睛】本题考查函数的对称性的证明，属于基础题. 6．判断下列命题的真假: (1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数; (2)如果一个函数为奇函数,则它的定义域关于坐标原点对称; (3)如果一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数为偶函数. 【答案】(1)假命题.(2)真命题