3.1.2函数的单调性 课本一例题课后一习题-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1函数的概念与性质 3.1.2函数的单调性 一、单选题 1．向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图像中，可能是的图像的是（    ）①．①本章导语中向容器中倒水的问题的答案与此题的答案类似．    A．   B．   C．   D．   二、填空题 2．判断函数，的单调性，并求这个函数的最值． 任取，，且，则，那么， 所以这个函数是 函数．因此，当时，有， 从而这个函数的最小值为 ，最大值为 ． 3．已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 . (1); (2); (3)在区间上有最大值,而且是最大值; (4)与的大小关系不确定; (5)在区间上有最小值; (6)在区间上的最小值是. 三、解答题 4．判断一次函数的单调性. 5．证明函数在上是增函数,在上是减函数,并求这个函数的最值. 6．判断下列命题的真假: (1)如果在区间I上是增函数,那么在该区间上,自变量减小时,函数值也减小; (2)如果在区间I上,随着自变量的减小,函数值反而增大,那么在I上是减函数. 7．如图,已知函数的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数. 8．判断函数的单调性,并求这个函数的最值. 9．依据函数单调性的定义,证明函数是递增的. 10．判断下列命题的真假: (1)如果在上是增函数,且,那么当时,; (2)如果在上具有单调性,且,那么当时,. 11．求的单调区间,并求这个函数的最值. 12．已知函数是R上的增函数,,且,求证:在R上也是增函数. 13．是否存在函数,在其定义域上既不是增函数,也不是减函数?如果不存在,说明理由；如果存在,举出实例. 试卷第2页，共7页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1函数的概念与性质 3.1.2函数的单调性 一、单选题 1．向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图像中，可能是的图像的是（    ）①．①本章导语中向容器中倒水的问题的答案与此题的答案类似．    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小， 故函数的图象越来越平缓. 故选：D. 二、填空题 2．判断函数，的单调性，并求这个函数的最值． 任取，，且，则，那么， 所以这个函数是 函数．因此，当时，有， 从而这个函数的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 增 2 23 【分析】根据增函数的定义结合函数的最值即可得出答案. 【详解】因为任取，，且，则，那么， 所以，所以函数是增函数； 当时，函数的最小值为，最大值为. 故答案为：增；2；23. 3．已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是 . (1); (2); (3)在区间上有最大值,而且是最大值; (4)与的大小关系不确定; (5)在区间上有最小值; (6)在区间上的最小值是. 【答案】(1)(3)(4)(5) . 【解析】根据单调性的定义逐个判断后可得正确的选项. 【详解】∵在区间上递增，∴，故(1)正确. ∵函数在区间上递减，∴，故(2)错误. ∵函数在区间上递增，在区间上递减，∴函数在区间上有最大值，也有最小值，且是最大值，或是最小值，故(3)(5)正确，(6)不正确，而与的大小不确定，故(4)正确. 故答案为:(1)(3)(4)(5). 【点睛】本题考查对单调性的理解以及函数的最值，注意当知晓函数的单调性后，可由自变量的大小得到函数值的大小，另外函数的最值可依据函数的单调性来求，本题属于基础题. 三、解答题 4．判断一次函数的单调性. 【答案】见解析 【解析】利用单调性的定义就的正负分类证明函数的单调性即可. 【详解】设. 当时， 设任意，那么， 因为，故，所以， 故即，所以为R上增函数. 同理可证：当时， 为R上是减函数. 【点睛】本题考查函数单调性的证明，证明的基本步骤为取点、作差、定号，最后给出结论，定号时需根据参数的符号来讨论，本题考查了学生的推理论证能力和分类讨论的数学思想，属于容易题. 5．证明函数在上是增函数,在上是减函数,并求这个函数的最值. 【答案】见解析,最大值1