2.2 不等式 课本一例题课后一习题-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2《不等式》习题2-2A组B组C组 一、解答题 1．已知，比较与的大小，并证明. 2．求不等式组，的解集. 3．求下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4）. 4．求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）. 5．求的最小值，以及取得最小值时的值. 6．已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 7．比较与的大小. 8．已知，分别求的取值范围. 9．利用图示说明不等式成立，并画出不等式中等号成立时相应的图示. 10．某种汽车，购车费用是10万元，第一年维修费是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，且每年的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元。则这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？ 11．已知都是正实数，求证：. 12．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，求实数的取值范围. 13．已知，求的最小值，以及取得最小值时的值. 14．设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积. 15．设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是.回答下面的问题： （1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由. （2）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 试卷第2页，共9页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2《不等式》习题2-2A组B组C组 一、解答题 1．已知，比较与的大小，并证明. 【答案】见解析 【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：， 证明如下：. 【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．求不等式组，的解集. 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的解法分别求出各不等式的解集，再在数轴上取公共部分即不等式组的解集. 【详解】解：由，得，如图，    结合数轴得不等式组的解集为. 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题. 3．求下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）根据二次函数的性质即可得解； （2）将不等式因式分解，即可得到不等式的解集； （3）将变形为，两边开平方得，再解绝对值不等式即可得解； （4）将式子变形为，由即可知不等式无解； 【详解】解：（1） 所以原不等式的解集为. （2）因为，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，解得或， 所以不等式的解集为. （4）因为， 所以原不等式可化为， 上述不等式显然不成立， 所以不等式的解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 4．求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原不等式等价于，再根据绝对值的几何意义解答； （2）原不等式等价于，再根据绝对值的几何意义解答； 【详解】解：（1）原不等式等价于，即或，解得或，所以不等式的解集为. （2）原不等式等价于，即或，解得或. 综上，所求不等式的解集为. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 5．求的最小值，以及取得最小值时的值. 【答案】当时，取最小值4 【解析】利用基本不等式计算可得. 【详解】解：.当且仅当，即时，取等号. 所以当时，取最小值. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 6．已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 【答案】(1)[2，+∞） (2)最小值2+2， 【分析】（1）由题意利用基本不等式即可求解． （2）由已知可得y2+（x），利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为x∈（0，+∞）， 所以， 取等号条件：x，x2＝1． 因为x∈（0，+∞）， 所以x＝1， 所以函数的值域为[2，+∞）． （2）y2+（x）， 因为x∈（0，+∞）， 所以x2， 所以y＝2+（x）≥2+2，取等号条件：x，x2＝3， 因为x∈（0，+∞）， 所以，当时，该函数取最小值2+2． 7．比较与的大小. 【答案】 【解析】利用作差法得到，再比较、的大小，将两式平方之后再作差即可得出结论. 【详解】解：. 又， ， 【点睛】本题考查作差法比较两数的大小，属于基础题. 8．已知，分别求的取值范围. 【答案】 【解析】根据不等式的性质解答. 【详解】解：，； ，， 根据不等式的同向可加性得：，，， 根据同向正值不等式可乘性得：， 综上， 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 9．利用图示说明不等式成立，