2.2.1不等式及其性质 课本一例题课后一习题-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2不等式 2.2.1不等式及其性质 一、解答题 1．（1）已知，求证：； （2）已知，求证：； （3）已知，求证：. 2．已知，求证：. 3．正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立吗？把成立的结论重新叙述一遍. 4．判断下列命题的真假： （1）当时，； （2）当时，； （3）当且时，. 5．利用正比例函数给出不等式性质2和性质3的直观解释. 6．已知、、是正实数，且，求证：． 二、填空题 7．用“>”或“<”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4）当c 0时，； （5） ；（6） . 8．用“>”或“<”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） 1； （5） ；（6） . 试卷第2页，共4页 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2不等式 2.2.1不等式及其性质 一、解答题 1．（1）已知，求证：； （2）已知，求证：； （3）已知，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 , 再用同向可加性法则即可得出结果. （2）根据正数的倒数大于0可得,再用同向同正可乘性得出结果. （3）因为，根据（2）的结论，得,再用同向同正可乘性得出结果. 【详解】证明：（1）因为，所以. 则. （2）因为，所以. 又因为，所以 ， 即，因此. （3）因为，根据（2）的结论，得 . 又因为， 则 ， 即. 【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题. 2．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】由已知有，再将不等式左右两边同时除以正数即可得证. 【详解】证明：因为，所以，所以， 所以， 即. 【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了运算能力，属基础题. 3．正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立吗？把成立的结论重新叙述一遍. 【答案】成立，答案见解析 【解析】掌握不等式的性质及推论，再写出相关不等式即可. 【详解】解：正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立， 成立的结论如下： 性质1：， 性质2：， 性质3：若， 性质3推论：， 性质4：若， 性质4推论：， 性质5： 性质6： 【点睛】本题考查了不等式的性质及推论，属基础题. 4．判断下列命题的真假： （1）当时，； （2）当时，； （3）当且时，. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题. 【解析】（1）由满足，即可判断命题的真假； （2）由不能推出，即可判断命题的真假； （3）由且时可得，即可判断命题的真假. 【详解】解：（1）因为，可得，即“当时，”为真命题； （2）当时，不妨取，不能推出，即“时，”为假命题； （3）当且时，可得，即“当且时， ”为真命题. 【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了命题的真假，属基础题. 5．利用正比例函数给出不等式性质2和性质3的直观解释. 【答案】详见解析 【解析】由一次函数单调性即可解释不等式性质2和性质3. 【详解】解：设正比例函数为，则不等式的性质2和性质3可解释如下： 当时，函数值y随x的增大而增大， 因为，所以. 当时，函数值y随x的增大而减小， 因为，所以. 【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了函数单调性的应用，属基础题. 6．已知、、是正实数，且，求证：． 【答案】证明：由a,b,m是正实数,故要证< 只要证a（b+m）<b(a+m)   只要证ab+am<ab+bm 只要证am<bm, 而m>0      只要证 a<b, 由条件a<b成立，故原不等式成立． 【详解】试题分析：只要证明，只要证明，只要证，而为已知条件，命题得证． 试题解析：∵，，是正实数， ∴要证，只要证， 即证，即证． ∵，∴原不等式成立． 考点：分析证明法． 【方法点睛】证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反退回去寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件，为了证明成立，再去寻找成立的充分条件；为了保证成立，再去寻找成立的充分条件……知道找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，又叫做执果索因法． 二、填空题 7．用“>”或“<”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4）当c 0时，； （5） ；（6） .