专题01 空间向量的线性运算（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题01 空间向量的线性运算（考点清单）（考点串讲） 目录 一、思维导图 3 二、知识回归 4 三、典型例题讲与练 6 考点清单01：空间向量的有关概念 6 【考试题型1】空间向量基本概念 6 考点清单02空间向量的共线定理 8 【考试题型1】空间向量共线判断 8 【考试题型2】由空间向量共线求参数或值 10 考点清单03空间向量共面 12 【考试题型1】判断空间向量共面 12 【考试题型2】由空间向量共面求参数 14 考点清单04用基底表示向量 15 【考试题型1】用基底表示向量 15 考点清单05空间向量数量积 17 【考试题型1】空间向量数量积运算 17 【考试题型2】求空间向量数量积的最值（范围） 20 考点清单06空间向量的模 23 【考试题型1】求空间向量模 23 【考试题型2】求空间向量模的最值（范围） 25 考点清单07空间向量夹角 28 【考试题型1】求空间向量夹角 28 【考试题型2】空间向量夹角为锐角（钝角） 31 考点清单08空间向量投影 33 【考试题型1】求投影向量 33 考点清单09空间向量平行，垂直关系 35 【考试题型1】空间向量平行与垂直关系 35 考点清单10用向量证明空间中的平行，垂直关系 37 【考试题型1】证明线面平行 37 【考试题型2】证明面面平行 41 【考试题型3】证明线面垂直 45 【考试题型4】证明面面垂直 49 一、思维导图 二、知识回归 知识点01：几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点02：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点03：共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点04：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 知识点05：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点06：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 知识点07：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点08：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 三、典型例题讲与练 01：空间向量的有关概念 【考试题型1】空间向量基本概念 【解题方法】向量的基本概念 【典例1】（2023上·高二课时练习）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】（2023上·福建泉州·高二统考期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【专训1-1】（2023上·山西临汾·高二校考阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 02空间向量的共线定理 【考试题型1】空间向量共线判断 【解题方法】共线定理 【典例1】（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 【典例2】（2023上·北京·高二北京铁路二中校考期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【专训1-1】（2023上·全国·高二阶段练习）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量