3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质 新知探究 问题1：在椭圆、双曲线里我们研究了它们的哪些几何性质？用什么方法研究的？ 标准方程 图象 性质 研究方法 范围、对称性、顶点、离心率 直观猜想 方程验证 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 新知探究 标准方程 图象 性质 研究方法 范围、对称性、顶点、离心率 直观猜想 方程验证 下面我们以开口向右的抛物线 为例，对范围、对称性、顶点、离心率逐一研究． 新知探究 范围 因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 抛物线 ① 新知探究 对称性 抛物线 ① 以代，方程①不变，所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 新知探究 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点. 抛物线 ① 新知探究 离心率 抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示.由抛物线的定义可知，. 抛物线 ① 习题训练 例1：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，且经过点 ，求它的标准方程． 习题训练 变式：如果把条件“关于 轴对称”改为“关于坐标轴对称”，那么结果有什么变化吗？ 习题训练 难点1：求抛物线方程的问题 抛物线过某定点，求抛物线方程时，要注意两点： 1、关注问题是否说明抛物线的对称轴； 2、要准确设出抛物线方程，做到不重不漏． 习题训练 在图中，设，.由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离.由，，得，于是.同理，，于是得.由此可见，只要求出点得横坐标之和，就可以求出. 例2.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 习题训练 思考：如果直线不经过焦点 ，那么 还等于 吗？ 图象角度： ． 根据三角形两边之和大于第三边， 习题训练 变式 难点2：弦长问题 面对直线与抛物线相交问题，利用坐标法求解线段长时，可以先判断直线是否过抛物线的焦点。 若直线不过抛物线焦点，则利用两点间距离公式进行求解； 若直线过抛物线的焦点，可结合抛物线的图象，使用抛物线的定义进行快速求解． 习题训练 变式 .过抛物线的焦点作倾斜角为直线交抛物线于，两点， 如果，求线段的长. 解：因为抛物线的焦点是， 所以直线的方程为， 与抛物线方程联立消去得， 所以，从而. 习题训练 例3.已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程. 解：由题知，抛物线的焦点. ∵抛物线关于轴对称，，∴为等腰三角形. ∴两点关于轴对称. 设，则.∵的垂心恰为抛物线的焦点， ∴，则，即. 又∵，∴. ∴直线的方程为. 习题训练 变式. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长. 解：如图所示，设正三角形的顶点在抛物线上，且坐标分别为，,则，. 又，所以，即， 整理得. ∵，，，∴，由此可得， 即线段关于轴对称.由此得， ∴，与联立，解得. ∴. 易错点：抛物线的标准方程的形式 在判断抛物线的开口，求解抛物线的范围、焦点坐标等问题时，要注意观察抛物线是否为标准方程． 若给定的方程形如 ，则要先变形为标准方程 ，再对范围、对称轴进行判断、求解． 知识归纳 本节课我们研究了抛物线的哪些几何性质？ 标准方程 图像 性质 范围 对称轴 顶点 离心率 解：设抛物线的标准方程为 ， 由于点 在抛物线上，所以将坐标代入方程，得 ， 解得 ． 故，所求的抛物线的标准方程是 ． 解：设抛物线的标准方程为 ， 由于点 在抛物线上，所以将坐标 代入方程，得 ， 解得 ． 则，所求的抛物线的标准方程是 ． 设抛物线的标准方程为 ， 由于点 在抛物线上，所以将坐标 代入方程，得 ， 解得 ． 则，所求的抛物线的标准方程是 ． 综上所述，所求的抛物线方程为 ， ． 3．过点 作斜率为1的直线 ，交抛物线 于 两点，求 . 【解析】过点 且斜率为1的直线 的方程为 ，设 , 联立 ，得 ，则 ， 且 故 . $$