专题4-1 数列通项及函数性质12种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题 4.1 数列通项及函数性质 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 数列概念 · 【题型二】 观察法求数列的项 · 【题型三】 数阵、图形型归纳 · 【题型四】 求通项：归纳分析型 · 【题型五】 求通项：累加法 · 【题型六】 求通项：累乘法 · 【题型七】 an与sn型求项 · 【题型八】 求通项：an与sn互化型 · 【题型九】 求通项：隐形和求通项 · 【题型十】 求通项：周期数列 · 【题型十一】数列的函数性质：单调性 · 【题型十二】数列的函数性质：数列最值 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】数列概念 【典例分析】 1.．（2021下·高二课时练习）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 2.（2023下·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【提分秘籍】 数列的定义 （1）按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫作这个数列的项. （2）项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列. （3）数列的一般形式可以写成：，简记为，其中称为数列的第1项或首项，称为第2项，，称为第项. 【变式演练】 1.（2023下·云南曲靖·高二曲靖市民族中学校考期中）下列说法正确的是（    ） A．数列与是相同的 B．数列可以表示为 C．数列与是相同的数列 D．数列的第项为 2.（2014上·广西玉林·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 3.（2021上·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） ①数列与数列是同一数列； ②数列的第项是； ③数列中的每一项都与它的序号有关. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型二】观察法求数列的项 【典例分析】 1.（2023下·陕西安康·高二校联考期末）观察下列数的规律：1，1，2，3，5，8……，则第9个数是（    ） A．21 B．22 C．33 D．34 2.（2021下·高二课时练习）数列1，3，6，10，，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知的值是（    ） A．12 B．15 C．17 D．18 【提分秘籍】 数列的递推公式 如果已知一个数列的第1项或（前几项），且任一项与前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. 【变式演练】 1.（2023下·安徽·高二统考期末）数列的第11项是（    ） A． B． C． D． 2.．（2023下·江西新余·高二校联考阶段练习）已知数列1，，2，，4，…，根据该数列的规律，16是该数列的（    ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 3.（2023·全国·高三专题练习）观察下列各式： ； ； ； ； ； 则（    ） A．28 B．76 C．123 D．10 【题型三】数阵、图形型归纳 【典例分析】 1.（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（    ）    A．34 B．35 C．88 D．89 2.（2021·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为，则（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【提分秘籍】 数列的通项公式 （1）一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. （2）数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为 或. （3）数列的图象是散点图 【变式演练】 1.（2023下·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）如图展示的是一个树形图的从上至下的前6行生长过程，依据图中所示的生长规律，第10行的圆点个数是（    ）．    A．55 B．34 C．21