第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第04讲 5.3.2函数的极值与最大（小）值 课程标准 学习目标 ①.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。 ②掌握函数极值的判定及求法。 ③掌握函数在某一点取得极值的条件。 ④能根据极值点与极值的情况求参数范围。 ⑤会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。 ⑥会求某闭区间上函数的最值 ⑦理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围 1.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.； 2.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题； 知识点01、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 【即学即练1】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 【答案】2 【详解】， 令，解得或6， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在取得极大值，故极大值点为2. 故答案为：2 知识点02、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【即学即练2】（2023下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【详解】因为， ，或， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为， 所以，故. 故答案为： 知识点03、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【即学即练3】（2023上·天津·高三统考期中）已知函数. (1)求的单调区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)最大值为54，最小值为. 【详解】（1）由题设，令，得或， 当时，即，解得或，单调递增区间为和. 当时，即，解得，单调递减区间为. 函数的极大值为，极小值为. （2）由，，，则 且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为. 题型01函数图象与极值（点）的关系 【典例1】（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 【典例2】（2023·上海·高二专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【变式1】（多选）（2023上·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【变式2】（多选）（2023上·新疆喀什·高三统考期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 题型02求已知函数的极值（点） 【典例1】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【典例2】（2023上·四川眉山·高三四川省眉山第一中学校考开学考试）若函数，为函数的极值点. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【变式1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值． 【变式2】（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知是函数的极小值点． (1)求实数的取值范围； (2)求的极大值． 题型03根据函数的极值（点）求参数 【典例1】（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知函数在处有极大值，则的值为（ ）