第一章 4 角平分线-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测重点知识锦囊（北师大版）

第一章三角形的证明 4角平分线 新知荟>脉络梳理用 理变点 知瞑点①角平分线的性质定理 归销总结1 )归纳总结① (1)角的平分线的性质是由三个条件 角的平分线上的点到这个角的两边的 (一条角平分线，两条量线)得到一个 回 相等 结论（线段相等），但不要误认为角的 平分线上的点与角的函边上的任意一 如图，·OM是∠AOB的平分线， 点连线的长度都相等： C是OM上一点，CE⊥OA于点E,CF⊥OB (2)这里的距离指的是点到角的两边 垂线段的长 于点F,∴CE=CF. 知限息②角平分线的判定定理 2归销总结2 )归纳总结2 在一个角的内部，到角的两边距离 A 作 在持证我上任取一点向角的 两边作（或我）量线段 ② 的点在这个角的平分线上 如图，，CE⊥OA于点E,CF⊥OB 证 证明两茶垂线段 的长度相等 将证“某线是 于点F,且CE=CF,∴.OM是∠AOB的 南的平分线 的问源我花 平分线 得到流线是角 为证”垂我 的平分我 相等· 知限息③三角形三条角平分线的性质 一说数学 )图说数学 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条 在△ABC中，：BD,CE,AG分别 ☒ 相等 是∠ABC,∠ACB,∠BAC的平分线， 知限点④三角形的内心及其性质 “,BD,CE,AG相交于一点P若过点P 作PM⊥BC,PN⊥AC,PF⊥AB,垂足分 1.定义：三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫做 别为点M,N,F,则PM=PN=PF 三角形的内心 2.三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等. 答案 国距离回相等图边的距离 题型社，实例探索川 甲要点 圈國①角平分线的性质定理的应用 >解题技巧 令典例 典例①如图.在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是△ABC (1)∠B=50°，LC=70° 的角平分线，DE⊥AB于点E. 三角形的内 (1)求∠EDA的度数； 角和为180 (2)若AB=10.AC=8,DE=3,求△ABC ∠BAC=60° AD平分∠BAC 的面积 ∠BAD=30 【解】(1)，∠B=50°，∠C=70 DE⊥AB ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=60° ∠EDA=60 ,:AD是△ABC的角平分线， ÷LBAD=3∠BAC=309 ,DE⊥AB,∴.∠DEA=90°. 六.∠EDA=90°-∠BAD=60° 见此图标国甄抖膏/微馆招码领取配套资源稳步提升成绩 目八年级数学·北师版（下册） (2)如图，过点D作DF⊥AC于点F (2) 要求S△AwE :AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC. ∴DF=DE=3. 可求S△An,Sa4c ,AB=10,AC=8 作△ADC的高DF ∴Samc=2 AR X DE+24CxDF SmABX DE. =7×10x3+×8x3 Sne×DF 由角的平分线 的性质，和 =27. S△x=27 DF-DE=3 题型②角平分线的判定定理的应用 ○解题技巧 典倒2 典例2如图，F,G是OA上的两点，M,N是OB上的两点，FG= Samre=S△rw MN,且△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在 分别作△PFG ∠AOB的平分线上，并说明理由. △PMN的高PD,PE FGPD=MNPE 2 己知FG=MN PD=PE M N B 【解】点P在∠AOB的平分线上.理由如下： 角的内部到角的 两边的距高相等的 如图，过点P分别作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E, 点在角的平分统上 则5=FG·Pm.Sam=号N,PE 点P在∠A0B的平分线上 SAPrG =SAPMN D .FG.PD-M PE 又.FG=MN,.PD=PE, ∴，点P在∠AOB的平分线上 国国（③角平分线的性质与判定的综合应用 )解题技巧 必典例3 典例图如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的 角的平分线的性质 平分线交于点P,连接AP 与判定的关系 (1)求证：AP平分△ABC的外角∠CAE: 点在角的平分线上性属 到变（商的内 (2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度数 部的)点到角西边的距离相等 角的平分线的性盾是证明两条线 段相等的依据，角的平分线的判定是 证明两角相等的依据. (1)证明：如图，过点P分别作PF⊥BE于点F,PN⊥BD 于点N,PM⊥AC于点M. CP平分∠ACD,∴.PM=PN. ·BP平分∠ABC,∴.PF=PN. ∴.PF=PM. 又，PF⊥AE,PM⊥AC, ∴AP平分△ABC的外角∠CAE. 见比图桥眠林普/磁信扫码领取配套资源稳步提升成馈 第一章三角形的证明 (2)解：设∠ACP=∠PCD=x,则∠ACD=2x 由(1)得∠FAP=∠PAC. ∠BPC=40°， .∠PBC=∠PCD-∠BPC=x-40°