2024年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 一、综合题 1．如图，在 中， ，点 在边 上，以点 为圆心， 为半径的圆经过点 ，过点 作直线 ，使 ． （1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 ， ，求图中阴影部分的面积． 2．如图，已知线段AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO． （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为1，PA=3，求BC的长． 3．如图，点 在半径为8的 上，过点 作 ，交 延长线于点 ．连接 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 4．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长． 5．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接OC、BC、CE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若圆O的直径等于2，填空： ①当AD=　 　时，四边形OADC是正方形； ②当AD=　 　时，四边形OECB是菱形． 6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． （1）求证：AB是⊙O的直径； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； （3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长． 7．如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线 交 的延长线与点 ，过点 作 交 于点 ，连接 . （1）直线 与 相切吗？并说明理由； （2）若 ， ，求 的长. 8．如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA． （1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长． 9．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 10．如图，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，交AC于点E，交AB于点F. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD= ，BF=2，求阴影部分的面积　 　 (直接填空). 11．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，以O为圆心，OD为半径作⊙O. （1）求证：CB与⊙O相切 （2）如图2，若⊙O与CB相切于点E,且⊙O过点H，且AC=10，AB=12，连接EH，求△BHE的面积. 12．如图，在中，，与，分别相切于点D，E，平分，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求阴影部分的面积． 13．已知，如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）动手操作：利用尺规作，以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O，与AB的另一个交点为E，与AC的另一个交点为F（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由。 （2）若∠BAC=60度，CD= ，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和 ） 14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上一点，连接BD，使∠A=2∠1，点E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求AB的长． 15．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是弧AB上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC. （1）若BD＝8，求线段AC的长度； （2）求证：EC是⊙O的切线； （3）当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积. 16．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长． 17．如图，在 △ABC中，AB=AC ，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD． （1）求证