专题27.7 切线长定理、三角形的内切圆【十大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题27.7 切线长定理、三角形的内切圆【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 利用切线长定理求解】 1 【题型2 利用切线长定理证明】 2 【题型3 由三角形的内切圆求长度】 4 【题型4 由三角形的内切圆求角度】 5 【题型5 由三角形的内切圆求面积】 6 【题型6 由三角形的内切圆求最值】 7 【题型7 直角三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】 8 【题型8 圆外切四边形的计算】 9 【题型9 一般三角形的周长、面积与三角形内切圆的关系】 11 【题型10 三角形内切圆与外接圆的综合运用】 12 【知识点1 切线长定理】 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【题型1 利用切线长定理求解】 【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2023春·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 【变式1-3】（2023春·浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心O到的距离是 ． 【题型2 利用切线长定理证明】 【例2】（2023春·天津河东·九年级天津市第四十五中学校考期末）如图，中，，以为直径的交于，交于，交于，点为延长线上的一点，延长交于，，下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号） 【变式2-1】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【变式2-2】（2023春·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【变式2-3】（2023春·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点. (1)证明：是的切线. (2)如图2，连接，，求证：. 【知识点2 三角形的内切圆】 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心 三角形的内心到三角形三边的距离相等 【题型3 由三角形的内切圆求解】 【例3】（2023春·天津西青·九年级统考期末）如图，在中，，，若与的三边分别相切于点D，E，F，且的周长为32，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3-1】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ． 【变式3-2】（2023春·天津河西·九年级校考期末）如图，是直角的内切圆，切点为D、E、F，若，，则的面积为 ． 【变式3-3】（2023春·甘肃金昌·九年级校考期末）如图，在中，，，是的内切圆，它与、、分别相切于点D、E、F．求的半径． 【题型4 由三角形的内心的有关应用】 【例4】（2023春·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，点为的内切圆的圆心，连接AI并延长交的外接圆于点，连接BD．已知，，则AI的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在中，，点I是的内心，    （1） ； （2）若的延长线与的外角的平分线交于点E，当 °时，． 【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1） ； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是 ． 【题型5 坐标系中的三角形内切圆】 【例5】（2023·山