椭圆的三个定义课件-2024届高三数学一轮复习

椭圆研究性复习课 椭圆的三个定义 为了让大家能在复习中有新的收获。今天，我们将从一个新的视角，在一个新的层面来对椭圆的定义及其标准方程的推导过程作一次重新审视与研究，我将与大家一起在审视中反思，在探索中研究，看谁发现快？看谁成果多？ 在以前上新课的时候，我们不但学习了椭圆 的定义，而且还推导了椭圆标准方程。 那么，在今天的高三数学复习课中，我们是否对以前的内容再来一次简单地重复呢？回答当然是“不”。 平面内到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距2C (2a>2c) 。 椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的集合表述： M F2 F1 动画演示 下面，我们一起来回顾椭圆标准方程的推导过程： F1 F2 M 0 x y 如图，以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0)。 设M(x, y)，则 |MF1|＋|MF2|＝2a,即 将这个方程移项，两边平方，得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2) （4） 由椭圆的定义可知 2a>2c ，所以a2 － c2＞0 令a2 － c2= b2 两边再平方，得 a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2 （3） 整理得 整理得 我们为何称（5）式 为椭圆的标准的方程？ 那么（5）式与圆的标准方程比较，又有什么不足呢？ 椭圆的标准方程有其图形特征，但没有其定义特征：“椭圆上一点到两个定点的距离的和等于定长” 。 那么，在上述推导过程中，哪一步有这一特征呢？ 为了回答这一问题，现在就请大家来重新审视一下从(1)到(5)式的推导过程，再来看一看：又是在哪里失去了这一特征？ 思考: 圆的标准方程 中有圆的圆心和半径，很好的体现了圆的定义的特征和圆的图形特征。 (5)式对称、简洁，又可看出椭圆的两个半轴的长… 如图，以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0)。 设M(x, y)，则 |MF1|＋|MF2|＝2a,即 将这个方程移项，两边平方，得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2) (4) 由椭圆的定义可知 2a>2c ，所以a2 － c2＞0 令a2 － c2= b2 两边再平方，得 a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2 (3) 整理得 整理得 这是定义式， 具有上述几何特征。 这是坐标式， 也具有上述几何特征。 哦！到了（2）式还有几何特征，但由于再平方，虽化简得到了（5）式，但却 完全 失去了上述几何特征。 那不再平方，行吗？ 到了(2)式 要是不再平方，而用其他变形办法又会如何？ 这个办法又是什么呢？ 两边同除以a即可！ (6)式右边有明显的几何意义，你能说说吗？ (6)式左边为何看不出它的几何意义？该怎么处理？ 将x前面的系数 提出来 整理得 动点M(x,y)到定点F(c,0)的距离。 那么(6)式左边呢？ (8)式 又有怎样的几何意义？ 平面内一个动点M(x,y)到定点F(c,0)和一定直线 距离之比,等于一个常数 。 满足(8)式的轨迹是椭圆吗？ 动画演示 椭圆的第二定义 刚才我们通过重新审视原推导过程等到了椭圆的第二定义。那么这一过程是否还有什么可以挖掘？ F2 F1 M O y x A1 A2 如图在椭圆中，我们都知道这么一个事实：点A1到焦点F1的距离最近，点A2到焦点F1的距离最远。这是为何呢？ 让我们再次聚焦（6）式 (6)式的几何意义动点M(x,y)到定点F(c,0) 距离，即 椭圆的焦半径 椭圆的焦半径公式有什么优点和作用？ 椭圆的焦半径 椭圆的焦半径公式是x的一次函数，可以很直观的看出： 点A1到焦点F1的距离最近，点A2到焦点F1的距离最远。 这里体现的又是什么数学思想呢？ 体现了降维（即化归）思想，它将二维平面的问题降维（即化归）为一维数轴的来处理，这在解题中有其独特的作用，我们将在以后的课中