5.1.2 弧度制 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.2弧度制 O A C l=2r 2rad O A B 1rad l=r 度量身高的单位是什么？ 度量城市距离的单位是什么？ 度量星系之间距离的单位是什么？ 同样是度量距离，我们为什么要采用不同的单位制来度量呢？ 课题引入 1.长度单位 在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？ 2.角度制 角度制的定义 　　　规定周角的　　为1度的角,这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。 1° n° r l 回想：在半径为r的圆中,圆心角n0所对的圆弧长如何计算？扇形面积公式是什么？ 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 1弧度的定义： 我们规定，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． O A B 1rad l=r 新课学习 演示课件 　　若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？ 　　　为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？ 演示课件 探究 半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B．请在下表格中填空，并思考：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么α 的弧度数是多少？ y x o A B α OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向 r 1 2r -2 0 180° 360° 的长 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 πr 0 逆时针方向 πr 逆时针方向 2πr 弧度制的性质 (1)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 探究结论 (2)角α的弧度数的绝对值是 　　用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算． 若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其弧度数是2π,而在角度制里它是360°.　 因此 360°=2π rad 180°=π rad 角度制与弧度制的换算 例1. 完成下列角度与弧度的互化： 点评：实行角度与弧度的互化时，抓住 一个关键： 180°=π rad 知识应用 （1） （2）67°30′ （3） 练习(P175) 1.把下列角度化为弧度。 2.把下列弧度化为角度。 角度 角度 弧度 弧度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 0 熟记下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。不能“混和”用 2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。 注意： 3.用弧度表示： （1）终边在X轴上的角的集合。 （2）终边在Y轴上的角的集合。 练习(P175) 正角的弧度数 正数 负角的弧度数 负数 零角的弧度数 零 正角 负角 零角 正数 负数 0 任意角的集合 实数集R 思考:在弧度制下, ,这个对应关系是如何理解的？ 角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系 对应角的弧度数 弧度制的意义 例2.利用弧度制证明下列关于扇形公式: 证明:(1)由公式 得l=αR 圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 n°转换为弧度 α rad r l 其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角,S是扇形面积. 弧度制下扇形的弧长公式，面积公式得到了大大简化。 例3. 1.下列命题不正确的是（ ） A.半圆所对的圆心角是πrad B.周角的大小是2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1弧度 D 2.一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对 的圆心角的弧度数是（ ） A 课堂练习 3.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到 原来的2倍，则（ ） A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2