5.4 三角函数的图象与性质(20种题型)复习讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4 三角函数的图象与性质 1、正弦曲线： 如图，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，⊙与轴正半轴的交点为（1，0）。在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标。由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点。 若把轴上从0到这一段分成12等份，使的值分别为0，，，，...，２π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点。 2、余弦曲线： 对于函数，由诱导公式得，。 而函数的图象可以通过正弦函数的图象向左平移个单位长度而得到。所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象。 3、周期性： 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有 且，那么函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数的周期 (period)。 周期函数的周期不止一个。例如，，，，…以及，，，…都是正弦函数的周期。事实上，且，常数都是它的周期。 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。 正弦函数是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是。 类似地，余弦函数也是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是。 4、奇偶性： 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称。这个事实，也可由诱导公式得到。所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 5、单调性： 正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间上都单调递减，其值从减小到。 余弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间上都单调递减，其值从减小到。 6、最大值与最小值： 正弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值； 余弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值。 7、正切函数的周期性： 由诱导公式且可知，正切函数是周期函数，周期是。 8、正切函数的奇偶性： 由诱导公式且可知，正切函数是奇函数。 9、正切函数的图象： 如图，设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点。过点作轴的垂线，垂足为；过点（1，0）作轴的垂线与角的终边交于点，则。 由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值。我们可以利用线段画出函数的图象，如上图所示。 10、正切曲线： 根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形，就可得到 的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数，的图象，我们把它叫做正切曲线。 11、函数的图象： 12、函数的性质： 函数 图象 定义域 值域 [−1，1] [−1，1] 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 为增 为减 为增 为减 为增 对称 中心 对称轴 无 13、周期函数的周期公式： ①函数为常数，且的最小正周期是。 ②一般地，若函数的周期是，则函数的周期为，为常数，且。 14、奇偶性： 函数若为奇函数，则，若为偶函数，则。 函数若为奇函数，则，若为偶函数，则。 15、三角函数的值域求法： ①正余弦型：形如（或），可先由定义域求得的范围，然后，求得（或）的范围，最后求得最值。 ②二次型：形如，可利用换元思想，设，转化为二次函数 求最值，的范围需要根据定义域来确定。 【题型1】正弦函数的单调性 1．下列区间中，函数单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．函数f（x）＝sin2x在上是（　　） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 3．函数的单调递减区间为（　　） A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 4．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 5．下列选项使得函数单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】正弦函数的定义域 1．函数y＝lg（sinx）的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（　　） A．R B．[2kπ，π+2kπ]（k∈Z） C． D． 3．函数y的定义域是（　　） A． B． C． D． 4．与函数定义域相同的一个函数是（　　） A． B．y C．y＝lg（tanx） D．y＝lg（sinx） 5．若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞） 【