（学霸思维拓展）因数个数与因数和定理（提高）-2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展奥数培优（苏教版）

因数个数与因数和定理 一、填空题 1．若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)= . 2．200名同学编为1至200号面向南站成一排。第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有( )名。 3．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的因数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是( )。 二、解答题 4．有8个不同因数的自然数中，最小的是多少？ 5．求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个因数． 6．甲数有9个因数，乙数有10个因数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？ 7．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少？ 8．有两个数，一个有9个因数，一个有10个因数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？ 9．已知15120=24×33×5×7，问：15120共有多少个不同的约数？ 10．在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数。 11．在1～100中，所有的只有3个因数的自然数的和是多少？ 12．甲乙两数只含有2、3质因数，甲数有21个约数，乙数有10个约数，它们的最大公约数是18，求此二数。 13．试求不大于50的所有因数个数为6的自然数． 14．求5040共有多少个约数？ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．17 【详解】36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36．42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42．所以有． 2． 【分析】最初全部学生向南站成一排，只有因数个数被4除余3的数，最后面向东。 【详解】只有因数个数被除余的数，最后面向东。 因数个数为的数有、、、、、，共个数。 因数个数为的数有，个， 因数个数为的数有，个 一共有个满足条件的编号。 【点睛】完全平方数有奇数个因数，所以这里求因数个数被4除余3的数，可以直接从完全平方数中找。 3．2601 【解析】四位数的数字和最小是1，最大是36，9999不是完全平方数，排除；数字和是完全平方数，那么数字和可能取9，16，25；因数个数还恰好等于它的数字和，那么因数个数也是完全平方数，而完全平方数有奇数个因数，排除16；对于9和25两种情况进行分类讨论。 【详解】如果数字和是9： 由于这个四位数除以它的数字和9，得到的结果还是完全平方数； 结合因数个数，符合要求的这个四位数可以写成的形式，因为为质数，经测试可取17； 得到符合要求四位数； 如果数字和是25： 由于这个四位数除以它的数字和25，得到的结果还是完全平方数； 结合因数个数，符合要求的这个四位数可以写成的形式，没有符合要求的数； 故这个四位数是2601。 【点睛】本题考查的是完全平方数的知识点，完全平方数的因数个数是奇数个。 4．24 【详解】可用较小的质数作为底数，从中求出最小的一个． 解：因为8=1×8=2×4=2×2×2 所以所求的自然数，只有三种情况，即：，，，其中a、b、c为不同的质数． 又因为要最小的自然数，所以质数a、b、c应尽量小． （l） （2） （3） 其中，24为最小，故所求的最小自然数为24． 5．12005 【详解】把数N写成质因数乘积的形式 由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指数ak为自然数或零．依题意，有 （a1+1）（a2+1）…（an+1）=10． 由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故a1+1=a2+1=a5+1