【金科大联考】2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来8月联考理科数学(河南卷)

绝密★启用前 2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试 新未来8月联考 理科数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设集合A={xx2-x-6<0},B={log:-<2},则A∩B= A.(-∞，-2) B.(-2,3) C.(0,3) D.(-2,0) 2.已知复数=i2o20+221十32，则芝的虚部为 A.-3 B.-2 C.2 D.3 3.随着我国经济社会加快发展，人们思想观念不断更新，女性在企业管理中占据着越来越重要 的地位，2021年12月21日，国家统计局发布了《中国妇女发展纲要(2011一2020年)》终期 统计监测报告.下图为2010一2020年企业职工董事和职工监事中女性所占比重条形统计图， 根据此图，判断下列说法错误的是 % 50 40 30 20 10 0 20102011201220132014201520162017201820192020 ■女职T32.731.626.429.140.138.439.939.739.933.434.9 ☑女0L上监35.235.627.029.241.538.940.141.64l.936.438.2 A.2010一2020年企业职工董事中女性所占比重的平均值为35.0个百分点 B.2020年企业职工董事中女性比重比2010年提高2.2个百分点 C.2020年企业职工监事中女性比重比2010年提高3.0个百分点 D.2011年企业职工监事中女性比重与董事中女性比重的差最大 理科数学试题第1页（共4页） 4.在△ABC中，已知B=号，AC=7,BC=8,则AB= A.3 B.4 C.3或5 D.4或5 x-y-1≤0， 5.若x,y满足约束条件3.x一y≥0，则=x2十y2的最大值为 3x+y-40, A.2⑤ 3 B号 c号 D.9 6.已知正项等比数列{a.}的前n项和为Sm,且满足3a2=2S,一8a1,S1。一2S。=2,则a1十a5= A.18 B.34 C.66 D.130 7.函数f(x)=2sin(ax十g)(w>0且0<p<x)在一个周期内的图象 如图所示，将函数y=f(x)图象上的点的横坐标伸长为原来的2 2 8 倍，再向右平移于个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则 -2 () A.3 B.1 C.-1 D.-√3 8.花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代 建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果.如图所示 是一个花窗图案，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上的三等分 H 点：点P,M,N,O分别为EF,FG,GH,HE上的三等分点：同样，点Q, R,S,T分别为PM,MN,VO,OP上的三等分点.若在大正方形中随机 取一点，则该点取自阴影部分的概率为 A. 25 100 B.729 c器 D.号 9.如图，“爱心”图案是由函数f(x)=一x2十k的图象的一部分及其关于直 线y=x的对称图形组成.若该图案经过点（一√6,0），点M是该图案上一 动点，N是其图象上点M关于直线y=x的对称点，连接MN,则|MN|的 最大值为 A.252 B252 4 C.6√2 D.82 10.疫情之下，口罩成为家家户户囤货清单中必不可少的一项，某新闻记者为调查不同口罩的防 护能力，分别在淘宝、京东、拼多多等购物平台购买了7种口罩，安排4人进行相关数据统 计，且每人至少统计1种口罩的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有 A.6000种 B.7200种 C.7800种 D.8400种 山.已知椭圆C:号+芳=1(a>b>0)的离心率为受，直线：y=kx(k≠0)交椭圆C于A,B两 点，点D在椭圆C上（与点A,B不重合）.若直线AD,BD的斜率分别为1，k2,则 1一4k2的最小值为 A B.2 C.23 D.4√2 12.设f(x)是定义在R上的连续的函数f(x)的导函数，f(x)一f'(x)十2e<0(e为自然对数 的底数)，且f(2)=4e,则不等式f(xr)>2.xe的解集为 A.(-2,0)U(2,+∞) B.(e,+oo) C.(2,+∞) D.(-∞，-2)U(2,+∞) 理科数学试题第2页（共4页） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知向量a=(1,3),b=(一6，m),且a∥(a+b),则m= 14.-1De-)广 展开式中的常数项为 1.双曲线C:言一芳=1(a>0,6>0)与曲线C:r2-y=0的四个交点构 成的四边形的边恰好经过双曲线C的焦点，则双曲线C,的离心率为 16.如图，在棱长为2W2的正方体ABCD-AB,CD中，若△ABA1绕AB旋转 一周，则在旋转过程中，三棱锥A-BDC:的体积的取值范围为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答， (一)必考题：共60分. 17.(本小题满分12分) 已知数列{aw}的前n项和为Sm,且满足a1=1,2S+1=Sm十2. (1)求数列{a.}的通项公式： (2)若数列位满足6.=a,十。，求数列的前n项和工 18.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2AD. E,F,H分别是PA,PD,AB的中点，G为DF的中点. (1)证明：GH∥平面BEF; (2)求PC与平面BEF所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分) 3月30日，由中国教育国际交流协会主办的2022联合国国际教育日一中国活动在京举办， 活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组 织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代 表和专家学者在线参加活动.会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行 选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不 得分.已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为子（每项得分不考虑平局的情况）. (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率： (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 理科数学试题第3页（共4页） 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=lnx十】十a. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，证明：x1十x2>2. 21.(本小题满分12分) 已知抛物线C:y=2px(p>0),直线4l:都经过点P(一号0)，当两条直线与抛物线相切 时，两切点间的距离为4. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线1，l2分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别 交于点A,B,证明：PA=PB. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 x=t+1, 在平面直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为《 (t为参数)，以坐标原点为极点， y=√3t x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2(1十3sin0)=4. (1)求直线1的一般式方程和曲线C的标准方程： (2)若直线（与曲线C交于A,B两点，点P(1,0),求|PA·PB的值 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知f(x)=|x+2|+|x-1|. (1)解不等式f(x)≤x+5: (2)若关于x的不等式f(x)≥m2-2m在R上恒成立，求实数m的取值范围. 理科数学试题第4页（共4页）2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试 新未来8月联考·理科数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案 【解析】.A={xx2-x-6<0}={x|-2<x<3},B=(x|Iog2x<2}=(x|0<x<4},∴A∩B=(0,3).故 选C. 2.【答案】B 【解析】，x=02w十221十32=(G)10十2(i)10w·i+3()1=一2十2i,∴.=一2一2i.故选B. 3.【答案】A 【解析】2010一2020年企业职工董事中女性所占比重的平均值为(32.7十31.6十26.4十29.1十40.1十38.4十 39.9+39.7+39.9十33.4+349)×=35.1个百分点，选项A错误： 2020年企业职工董事中女性比重比2010年提高34.9一32.7=2.2个百分点，选项B正确： 2020年企业职工监事中女性比重比2010年提高38.2一35.2-3.0个百分点，选项C正确： 2011年企业职工监事中女性比重与董事中女性比重的差最大，为4个百分点，选项D正确.故选A. 4.【答案C 【解析】设角A,B,C所对的边分别为a,b,.结合余弦定理，得7=8+2-2×8 KeXcos号，即2-8c十 15=0,解得c=3或c=5.故AB=3或5.故选C. 5.【答案】D ,3x-3y=0 【解析】由约束条件作出可行域如图. x=x十y的几何意义为可行域内的动点到坐标原点距离的平方. r-y-1=0 “点A的坐标为（导，2）=+y的最大值为（号）厂+2-9故选D 6.【答案】B 3.x+y-4=0 【解析】，3a2=2Sa-8a1,.3a19=2a1(1十q十q-4).整理得2g一q-6=0,g>0. 解得g=2.S0-2S=2.∴.a1=2..a,=2",.a1十a5=2十2°=34.故选B. 7.【答案】A 【解析】抽图象可知号-警-景=受，则T=元由T-,得。=2.则x)=2n(2x十g以.：点（骨，2）在函 数图象上，2=2sin(2×牙十)小，小9=2kx十年，k∈Z.解得9=平，心函数解析式为)= 2sim(2x十云).将函数y=f(x)图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移王个单位长度，得 ga)=2simx.故g(子）=.故选A 8.【答案】B 【解析】由题意，根据三角形相似可知E-P_QR-⑤ ABEF=PM=3· 理科数学答案第1页（共6页） 则S正方E卫 S正方形E出 S正打w心=9.故 E方6M0P=25.SE方QRST=125 S正方彩GH S正方彩PmNO S正方形0sT 5 正方把AD 81'S正方形AD 729 S用一 故SE青彩D 器放选以 9.【答案】B 【解析】，函数f(x)=一x2十k经过点（一√6,0），.k=6. y=-x2+6, 设直线y=x十b与函数∫(x)=一x2十6相切，联立 消去y,得x2十x十b-6=0. y=x十b, 25 △=1一4一6)=0，解得6-5则直线y=x+孕与直线y=x同的距离为 4=25v2 4 8 放MN的最大值为25，，故选B 10.【答案】D 【解析】由题意可知安排方法分三类： 第一类，3个人统计1种，1个人统计4种，有C·A=840(种)： 第二类，2个人统计1种，1个人统计2种，1个人统计3种，有C·C·A=5040(种)： 第三类，1个人统计1种，3个人统计2种，有C·C·CG.A=2520(种). A 故总的安排方法有840+5040+2520=8400（种）.故选D. 11.【答案】B 【解析】设A(m1,y),D(,y2),则B(一x1,一y). ,点B,D都在椭圆C上， 两式相减，得5二在+足=0. .y二业)(y十边)。2 (x1一xg)(x1十xg) 即66==-=-1= a ∴：一热=6+=十≥2√·行=么当且仅当=士1时取“=”故选B 12.【答案】C 【解析】设g(x)=fD-2x则g(2)=f八②-4=0， e 则f(x)>2xe等价于g(x)>0=g(2). 由f(x)-f(x)+2e<0,可得f(.x)-f(x)-2e>0. 故gr)=)-f四-2>0. e 故g(x)在R上单调递增，且g(2)=0. 故当f(x)>2xe即g(x)>0时，x>2.故选C. 13.【答案】-18 【解析】a=(1,3),b=(一6，m),.a十b=(-5,3十m). ,a∥(a+b),.1×(3十m)+3×(-5)=0,解得m=-18. 理科数学答案第2页（共6页） 14.【答案】-15 【解析】(r-号)广展开式的通项公式为T-1=Cx)一(-)广=(-1)Cx=0.1,2.3,456. 令12-3r=-1,无解.令12-3r=0,解得r=4.故(x-1)(2-） 展开式中的常数项为一1×（一1）C =-15. 15.【省案5 【解析】设双曲线的左、右焦点分别为F1(0,一c),F2(0,c). 故依题意，两曲线在第一象限的交点坐标为A(:,c),易知四边形为正方形. 则|AF2|=e,|AF|=√e2+(2c)F=√5e,故AF,|-|AF2|=2a=(W5-1)e. 故双曲线的离心率=二= 2e=5+1 2a(w5-1)c 2 16.【答案)「82-882+87 33 【解析】如图，连接A:D,AC,易知C,-A:BD为正四面体.O为A,B中点，E为C1D中点，点A在以O为圆 心，OA为半径的圆上运动. △ABA1绕A,B旋转所成的曲线中，若点A,O,E共线，且A在点O,E之间时，三棱锥A-BDC1的体积最 小：O在点A,E之间时.体积最大 在Rt△B0E中，0B=2,BE=23,则OE=22,sin∠OEB= 3 设点A,A'到平面BCD的距离分别为h1,h2, h=A'E·sin∠0EB=(OE-OA)·sin∠OEB=(2V2-2)x5=26-2E h:=AE·sin∠0EB=(0E+0A)·sin∠OEB=(2V2+2)×5-26+2E 3 1 :S1= -×4×2/3=45, “三棱锥A-BC体积的最小值为写×45×26,2E_88,最大值为号×45×26+25_82+8 3 3 3 ∴三棱锥A-BDC,的体积的取值范围为厂8E-8,8V区，+8 3 3 17.【答案11a,=2 (2)T.=2"-2-"十1 【解析】(1)当u=1时，2S=S,+2, a=1a,-.可得g-号 2…4……2分 当n≥2时，2S+1=Sw十2,2S,=Sw-1十2，…4分 两式相减，得2a,1=a,即d41=乞a，……… 6分 故数列{a,}是首项为1，公比为2的等比数列，则a,= 2: ……7分 (2)由(1)知，b.=2-1十 27 8分 理科数学答案第3页（共6页） aa-专动) 1 2 =2m-21-十1.…12分 18.【答案11)略(2) 6 【解析】(1)证明：如图，取AE中点M,连接MG,MH, ,E,F分别是PA,PD的中点，∴.EF∥AD, 又G,M分别是DF,AE的中点，∴.MG∥EF∥AD, 2分 ,MG丈平面BEF,EFC平面BEF,∴.MG∥平面BEF, 同理，M,H分别是AE,AB的中点，∴.MH∥EB, 4分 :MH平面BEF,EBC平面BEF,∴.MH∥平面BEF, 又.MG∩MH=M.∴.平面MHG∥平面BEF, GHC平面MHG,.GH∥平面BEF;… …6分 (2)如图，以A为坐标原点，A,AD,AP的方向分别为x,y,x轴的正方向建立空 间直角坐标系A-xy.设AB=2,则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2), F(0,1,2).………8分 可得BE=(-2,0,2),BF=(-2,1,2),PC=(2,2,-4.…9分 设平面BEF的法向量为m=(x,y,). m·B求=0， -2x+2x=0, 可得 即 令x=1,得m=(1,0,1).…11分 m,B正=0， 一2x+y+2g=0. 故cos(m,PC= m·P它 -2 3 39 m·PC12X26 6 即PC与平面BEF所成角的正弦值为 6 12分 19.【答案11架 (2)分布列见解析：E(X)= 3 【解析】(1)设打分结束后，方案一恰好领先方案二1分为事件A 期P)=G(号)广（号）广=器： …3分 (2)由题意可知X的取值为0,1,2,3,4,5， 4分 PX=o)=(3)）=: 5分 Px=1)-Cx号x(传)广-品： 6分 PX=2)=C×(号)广×（号）广-0 7分 Px=3)=C×(号）)广×（合）广-0： 8分 P(X=4)=C×(号)'×(3)）'= 2431 9分 PX=5)=(号)广=器 10分 理科数学答案第4页（共6页） 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 5 P 1 10 40 80 80 32 243 243 243 243 243 243 11分 故E0=0X+1×品+2×0+3×器+4×器+5×器-号 3210 12分 20.【答案】(1)单调递增区间：(1，+∞)，单调递减区间：(0,1)(2)略 【解折1f代)=nr+士+a,f()=上-之=三 令f'(x)=0,得x=1, 当0<x<1时，(x)<0,f(x)单调递减：当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增， 故函数f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，十0∞)；………3分 (2)证明：由(1)知，不妨设0<01<1<x2,………………………4分 构造函数g(x)=f(x)-f(2-x),0<x<1, 故=f+r-)=学+品- <0,………7分 故f(x)在(0,1)上单调递减，g(x)>g(小)=0，……………………8分 x1∈(0,1)..g(x1)=fx1)-f2-x1)>0, 又f(.x1）=f(.x2),.f(x2）-f(2-x1)>0,即f(x2)>f(2-x1),……10分 0<x1<1<x4,x,2-x∈(1，+oo), 又(x)在(1，十o∞）上单调递增，∴x2>2一1，即x1十x2>2,得证.……12分 21,【答案】(1)y=4x(2)略 【解析】1)设经过点P(-专，0)的直线为：y=(x+), (y=2px, 联立 y=(+) 消去y,得x2+(-2)x+D 4 =0,……………1分 △=(k2一2)分一4×，卫-4p(一+1)，当直线1与抛物线C相时，A=0,… 2分 4 ,p>0,k=士1，.切点到准线的距离等于切点到x轴的距离，等于切点到焦点的距离， 两切点间的连线过焦点，……………………………………3分 又：两切点间的距离为4，点P到焦点的距离为4,2X号=2，∴p=2 .抛物线C的标准方程为y=4江；………4分 (2)i证明：设点E(x1,y),F(xy2),G(x3,y),H(xy:), 设直线I1:x=k,y一1，直线l2x=ky一1， y2=4x, 联立 消去x,得y2一4k1y十4=0， x=ky-1, 则为=4，同理为y=4,故y=4,y ，①…………7分 理科数学答案第5页（共6页） 1 直线EH的方程为y二业=二4，令x=-1,得二业 y-yi xi-xI y一y_立 44 整理得y=业一4 ② ……9分 y1十y 同理，w=业》二4 y2+y% 4 把①代人②，得=业，为 .一4A业=一 4+4 y十y y:yi PA=PB引。……12分 2.【答案11直线1v5x-y-5=0,线C:号+y=1(2号 x=t+1, 【解析】(1)直线I的参数方程为 (t为参数)，化为一般式方程为W3x一y一√3=0，…2分 y=51 曲线C的极坐标方程为p2(1十3sim0》=4,化为标准方程为千十=1，…5分 x=1+2 (2)设直线1的参数方程为 为参数)，代人+=1，…6分 2 得131+41-12=0,414= 12 13 ……………8分 则1PA·PB=h=号 t0+t4+*++0044t+10+400+0+00++0++04t++0…4卡中00+…1+00。 10分 23.【答案】(1)[-2,4](2)[-1,3] -2x-1,x<-2, 【解析】(1)f(x)=x+2十1x-1={3,-2≤x<1, ………………1分 2x+1,x≥1， ①当x<一2时，f(x)≤x十5可化为一2.x一1≤x十5，解得x≥一2，无解：…2分 ②当一2≤x<1时，f(x)≤x十5可化为3≤r十5，解得x≥一2，故一2≤r<1:…3分 ③当x≥1时，f(x)≤x十5可化为2.x十1x十5，解得x≤4.故1≤x≤4.…4分 综上所示，不等式(x)≤x十5的解集为[一2,4们；………5分 (2)关于x的不等式f(.x)≥m2一2m在R上恒成立，即f(x)mn≥m十2m,……6分 f(x)=|x十2|十|x-1川≥|x十2-x十1=3，……8分 当且仅当(x十2)(x-1)≤0，即一2≤x≤1时等号成立，f(x)m=3,…9分 ∴.3≥n2一2m,解得-1≤m≤3， 故实数m的取值范围为[一1,3].……………………………………………10分 理科数学答案第6页（共6页）