计数原理知识梳理-2024届高三数学一轮复习

计数原理知识梳理 一、两个原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N＝m1＋m2＋…＋mn ． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为：N＝m1×m2×…×mn． 3.两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事，一步即可完成。 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事情。 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 4.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键． (2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点： ①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； ②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复； ③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法． 5.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意： (1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定． 6. 应用两种原理解题要注意 (1)分清要完成的事情是什么？ (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏． 7.与两个计数原理有关问题的解题策略 (1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理. (2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化． 二、排列与组合 1.排列、组合的定义 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 注意：排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合． 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝ ＝. C＝＝ ＝ 关系 CA＝A 性质 0！＝ ；A＝ . C＝C；C＝C＋C 特别地， 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，全排列数公式：所有全排列的个数， 即． 3.排列、组合问题的求解常用方法与技巧 解排列组合综合问题，先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，具体有下面几种常用方法： (1)特殊元素或特殊位置优先法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．优先安排． (2)相邻问题捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列． (3)相间问题插空法：对不相邻问题，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． (4)定序问题倍除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． (6)分球问题隔板法：相同元素的分配问题常用“隔板法”,每组至少一个． (7) 分组分配问题的策略：对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．对于部分均分，若有m组元