专题1-2 抽象函数的赋值计算及其性质7类题型压轴专练-2023-2024学年高一数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019必修第一册）

专题1-2 抽象函数的赋值计算及其性质7类题型压轴专练 为何把这个关于函数的小知识点单独作为一个专题呢？因为就是这个小点已经连续两年出现在高考试卷上了！比如，今年（2023）年新高考Ⅰ卷多选次压轴，第11道题，再比如，2022年新高考Ⅱ卷单选压轴第8题，都以抽象函数命制的！想必接下来的各省市将大量出现这个题型！因此，有必要把这种抽象函数概括总结清楚。 题型一 抽象函数赋值计算 题型二 抽象函数的奇偶性 题型三 抽象函数的单调性 题型四 抽象函数的值域 题型五 抽象函数的对称性 题型六 抽象函数的周期性 题型七 从解析式角度对抽象函数的再认识 1、余（正）弦型函数 2、对数型函数 3、指数型函数 4、一次函数 5、正切型函数 6、其它函数 抽象函数解题思路：主要考法四类题：赋值求值，证明单调性、证明奇偶性、解不等式 ①赋值求值：根据函数特性赋值来求某些函数的值。 ②证明单调性．③证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到。 ④解不等式：利用函数的单调性和奇偶性解不等式。 一、抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 三、常见的抽象函数模型 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型  ，往往还会给出一个限制条件，比如  等等，这样就限制了原函数的唯一性 1、一次函数 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 2、二次函数 （3） 对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 （4） 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或 4、指数函数（重要） （5） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . 奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系 5、对数函数（重要） （6） 对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 奇偶性证明：只需构造即可 6、三角函数： 三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例 （7） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： （8） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （9） 对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注：余弦积化和差公式： ，2022新高考2卷T8用的就是这个模型 （10） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 题型一 抽象函数赋值计算 1． 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= . 2． 定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)(x.y∈(0,＋∞))，已知f(8)＝3， 则f(1)＝ , ＝ 3． 设函数f(x)的定义域为R,且满足下列两个条件:①存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);②对任意x,y∈R,有f(x＋y)＝f(x)f(y)，求f(0)的值 4． 已知对所有的非负整数均有，若，则______． 5． 已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6． 已知函数，任意，满足，且，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 题型二 抽象函数的奇偶性 7． （2023上·江苏苏州·高一统考）（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 8． （多选）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 9． 已知函数f(x)为定义在R上的增函数，若对于任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． （1）求f(0),并证明f(x)为R上的奇函数；（2）若f(1)＝2，解关于x的不等式f(x)－f(3－x)＜4． 题型三