(讲义)3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版2019)

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用 1．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点) 2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．(难点) 3．掌握二项式定理的应用．(难点) 1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养． 2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养． 我国古代数学的许多创新和发展都处于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数． 问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？ [提示]　利用组合数性质C＋C＝C观察二项式系数的性质． 知识点1　二项式系数的性质 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． 即①二项展开式的二项式系数的和等于2n． ②奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n－1． 1．已知的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和的比值为64，则n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 C　[令x＝1，得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则＝64，解得n＝6．] 知识点2　杨辉三角具有的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． (3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，C，C，…，C，C是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项　 B．第7项 C．第9项　 D．第10项 C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．] 3．(对接教材)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________． 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 6　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6．] 类型1　求展开式的系数和 【例1】　设(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025·x2 025(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 025的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|的值． [思路点拨]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝(－1)2 025＝－1． ① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 025＝32 025． ② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 025)＝－1－32 025， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝． (3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝32 025． 1．解决二项式系数和问题思维流程 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． [跟进训练] 1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6． [解]　(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129． (2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256． (3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128． 类型2　二项式系数的性质及应用 【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [思路点拨]　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”． [解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开